В результате выборочного обследования 10.000 пассажиров пригородных поездов получены следующие данные: Дальность поездки, км Доля в % к итогу До 5 6 5-10 14 10-15 18 15-20 22 20-25 16 25-30 14 30-35 6 35 и более 4 Итого: 100 Определите: С вероятностью

Для решения задачи, давайте поэтапно определим необходимые параметры и вычислим пределы.

Шаг 1: Определение средней дальности поездки

Для начала найдем среднюю дальность поездки. Для этого нам нужно рассчитать взвешенное среднее значение, используя данные о доле пассажиров в каждой категории.

1. Определим средние значения для каждой к...: - Для категории До 5 км возьмем 2.5 км (среднее значение). - Для категории 5-10 км возьмем 7.5 км. - Для категории 10-15 км возьмем 12.5 км. - Для категории 15-20 км возьмем 17.5 км. - Для категории 20-25 км возьмем 22.5 км. - Для категории 25-30 км возьмем 27.5 км. - Для категории 30-35 км возьмем 32.5 км. - Для категории 35 и более возьмем 40 км (условно).

2. :

   $$\text{Средняя дальность} = \frac{\sum (\text{доля} \times \text{среднее значение})}{100}$$

   Подставим значения:

   $$= \frac{(6 \times 2.5) + (14 \times 7.5) + (18 \times 12.5) + (22 \times 17.5) + (16 \times 22.5) + (14 \times 27.5) + (6 \times 32.5) + (4 \times 40)}{100}$$
   $$= \frac{15 + 105 + 225 + 385 + 360 + 385 + 195 + 160}{100} = \frac{1570}{100} = 15.7 \text{ км}$$

Теперь найдем стандартное отклонение, чтобы определить пределы средней дальности поездки.

1. :

   $$D = \frac{\sum \left( \text{доля} \times (\text{среднее значение} - \text{средняя дальность})^2 \right)}{100}$$

   Подставим значения:

   $$= \frac{(6 \times (2.5 - 15.7)^2) + (14 \times (7.5 - 15.7)^2) + (18 \times (12.5 - 15.7)^2) + (22 \times (17.5 - 15.7)^2) + (16 \times (22.5 - 15.7)^2) + (14 \times (27.5 - 15.7)^2) + (6 \times (32.5 - 15.7)^2) + (4 \times (40 - 15.7)^2)}{100}$$

   После вычислений получаем:

   $$D \approx 120.49$$
   Стандартное отклонение:
   $$\sigma \approx \sqrt{D} \approx 10.97$$

Используя нормальное распределение, мы можем найти пределы средней дальности поездки с вероятностью 0.997.

1. : Для вероятности 0.997, Z-значение примерно равно 2.96.

2. :

   $$\text{Пределы} = \text{средняя дальность} \pm Z \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$
   Подставим значения:
   $$= 15.7 \pm 2.96 \times \frac{10.97}{\sqrt{10000}} = 15.7 \pm 2.96 \times 0.1097 \approx 15.7 \pm 0.325$$
   $$\approx [15.375, 16.025]$$

Теперь найдем пределы доли поездок дальностью 25 км и более с вероятностью 0.954.

1. : Доля поездок 25 км и более = 14% (25-30 км) + 4% (35 и более) = 18%.

2. :

   $$SE = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} = \sqrt{\frac{0.18 \times (1 - 0.18)}{10000}} \approx \sqrt{\frac{0.18 \times 0.82}{10000}} \approx \sqrt{0.00001476} \approx 0.00384$$

3. : Для вероятности 0.954, Z-значение примерно равно 1.96.

4. :

   $$\text{Пределы} = p \pm Z \times SE$$
   Подставим значения:
   $$= 0.18 \pm 1.96 \times 0.00384 \approx 0.18 \pm 0.00753$$
   $$\approx [0.1725, 0.1875]$$

5. С вероятностью 0.997 возможные пределы средней дальности поездки: .

6. С вероятностью 0.954 возможные пределы доли поездок дальностью 25 км и более: .