7. Из старинной пушки, ствол которой установлен под углом 30° K горизонту, выпущено ядро со скоростью 140 ~m / c. Найти проекции скорости на ось ОХ и ОУ, время падения. Вычислить дальность полета

Для решения задачи о движении ядра, выпущенного из пушки, нам нужно определить пр...

Скорость ядра $v = 140 \, \text{м/с}$ и угол $\alpha = 30^\circ$.

Проекция скорости на ось $OX$ (горизонтальная):

$$v_x = v \cdot \cos(\alpha) = 140 \cdot \cos(30^\circ)$$

Значение $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$:

$$v_x = 140 \cdot 0.866 \approx 121.24 \, \text{м/с}$$

Проекция скорости на ось $OY$ (вертикальная):

$$v_y = v \cdot \sin(\alpha) = 140 \cdot \sin(30^\circ)$$

Значение $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$:

$$v_y = 140 \cdot 0.5 = 70 \, \text{м/с}$$

Для определения времени падения, мы используем уравнение движения по вертикали. Время, за которое ядро достигнет земли, можно найти из уравнения:

$$h = v_y \cdot t - \frac{g \cdot t^2}{2}$$

где $h = 0$ (высота, на которой находится ядро в момент выстрела), $g \approx 9.81 \, \text{м/с}^2$ — ускорение свободного падения.

Упрощая уравнение, получаем:

$$0 = 70t - \frac{9.81t^2}{2}$$

Факторизуем:

$$t(70 - 4.905t) = 0$$

Отсюда $t = 0$ (в момент выстрела) или $70 - 4.905t = 0$:

$$4.905t = 70 \implies t = \frac{70}{4.905} \approx 14.26 \, \text{с}$$

Дальность полета $R$ можно найти по формуле:

$$R = v_x \cdot t$$

Подставляем значения:

$$R = 121.24 \cdot 14.26 \approx 1731.5 \, \text{м}$$

1. Проекции скорости:

   • $v_x \approx 121.24 \, \text{м/с}$
   • $v_y = 70 \, \text{м/с}$

2. Время падения:

   • $t \approx 14.26 \, \text{с}$

3. Дальность полета:

   • $R \approx 1731.5 \, \text{м}$