1. Главная
  2. Библиотека
  3. Теоретическая механика
  4. Дано уравнение теплопроводности в виде схема Кранка-Ник...
Разбор задачи

Дано уравнение теплопроводности в виде схема Кранка-Николсона

  • Предмет: Теоретическая механика
  • Автор: Кэмп
  • #Математические методы в механике
  • #Численные методы в механике
Дано уравнение теплопроводности в виде схема Кранка-Николсона

Условие:

Дано уравнение теплопроводности в виде $

∂u∂t=a∂2u∂x2+f(x,t)0⩽x⩽1,0⩽t⩽1,u(x,0)=μ(x)uνu(0,t)=μ1(t),u(1,t)=μ2(t)\begin{array}{l} \frac{\partial u}{\partial t}=a \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+f(x, t) \\ 0 \leqslant x \leqslant 1, \quad 0 \leqslant t \leqslant 1, \quad u(x, 0)=\mu(x) \\ u\nu u(0, t)=\mu_{1}(t), \quad u(1, t)=\mu_{2}(t) \end{array}
схемаКранка−Николсона схема Кранка-Николсона
ukj+1−ukjτ=a(uk+1j+1−2ukj+1+uk−1j+12h2++uk+1j−2ukj+uk−1j2h2)+fkj+1\begin{array}{c} \frac{u_{k}^{j+1}-u_{k}^{j}}{\tau}=a\left(\frac{u_{k+1}^{j+1}-2 u_{k}^{j+1}+u_{k-1}^{j+1}}{2 h^{2}}+\right. \\ \left.+\frac{u_{k+1}^{j}-2 u_{k}^{j}+u_{k-1}^{j}}{2 h^{2}}\right)+f_{k}^{j+1} \end{array}
νu(x,t)=−x4+tx+t2−texa=0.017\begin{array}{cc}\nu u(x, t) & =-x^{4}+t x+t^{2}-t e^{x} \\ a & =0.017 \end{array}

$

Решение:

Ниже приведено подробное рассуждение по решению задачи и полный исходный код на C++.

Описание рассуждений и шаги решения:

  1. Мы имеем уравнение теплопроводности вида
      u_t = a uₓₓ + f(x,t),  0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ t ≤ 1
    с начальными условиями u(x,0) = μ(x) и краевыми u(0,t) = μ₁(t), u(1,t) = μ₂(t). При этом задан точный ответ в виде функции
      u(x,t) = –x⁴ + t·x + t² – t·eˣ
    а коэффициент теплопроводности a = 0.017.

  2. Чтобы использовать схему Кранка–Николсона, необходимо вычислить правую часть f(x,t). Для этого сначала находят производную по времени:
      u_...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое свойство схемы Кранка-Николсона обеспечивает её устойчивость независимо от выбора шагов по времени и пространству?

Что нужно знать по теме:

Что нужно знать по теме

Алгоритм решения

Топ 3 ошибок

Что спросит препод

Похожие задачи

Похожие задачи

Не нашел нужную задачу?Воспользуйся поиском

AI помощники

Выбери предмет

E
S
А
Б
В
Г
Д
Е
Ж
З
И
К
Л
М
Н
О
П
Р
С
Т
У
Ф
Х
Ц
Ч
Э
Я