Диск массой 5 кг и радиусом 10 см вращается вокруг оси, проходящей через его центр. Уравнение вращения диска имеет вид φ(t) = φ0 + 2t  t 3 , рад. Найти закон изменения момента сил, действующего на диск. Вычислите момент сил в момент времени 4 с.

Для решения задачи, давайте разберем её по шагам.

Шаг 1: Найдем угловое ускорение диска

Уравнение вращения диска задано как:
$
\phi(t) = \phi_0 + 2t - t^3
$

Чтобы найти угловое ускорение, нам нужно дважды продифференцировать это уравнение по времени \(t\).

1. Перво...: $ \omega(t) = \frac{d\phi}{dt} = \frac{d}{dt}(2t - t^3) = 2 - 3t^2 $

2. :
   $$\alpha(t) = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d}{dt}(2 - 3t^2) = -6t$$

Момент инерции диска относительно оси, проходящей через его центр, можно вычислить по формуле:

$$I = \frac{1}{2} m r^2$$

где (m = 5 , \text{кг}) и (r = 0.1 , \text{м}) (10 см).

Подставим значения:

$$I = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot (0.1)^2 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 0.01 = 0.025 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2$$

Момент сил (M) можно найти по формуле:

$$M = I \cdot \alpha$$

Теперь подставим значения для момента инерции и углового ускорения. Сначала найдем угловое ускорение в момент времени (t = 4 , \text{с}):

$$\alpha(4) = -6 \cdot 4 = -24 \, \text{рад/с}^2$$

Теперь подставим в формулу для момента сил:

$$M = 0.025 \cdot (-24) = -0.6 \, \text{Н} \cdot \text{м}$$

Для оси, проходящей через половину радиуса, используем теорему Штейнера:

$$I = I_{центр} + m d^2$$

где (d) — расстояние от новой оси до центра диска. В нашем случае (d = 0.05 , \text{м}) (половина радиуса).

Подставим значения:

$$I = 0.025 + 5 \cdot (0.05)^2 = 0.025 + 5 \cdot 0.0025 = 0.025 + 0.0125 = 0.0375 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2$$

1. Закон изменения момента сил: (M(t) = 0.025 \cdot (-6t))
2. Момент сил в момент времени (t = 4 , \text{с}): (M = -0.6 , \text{Н} \cdot \text{м})
3. Момент инерции диска относительно оси, проходящей через половину радиуса: (I = 0.0375 , \text{кг} \cdot \text{м}^2)