Два одинаковых стержня длины l шарнирно закреплены в верхних точках. Их нижние концы соединены пружиной жесткости K. В положении равновесия стержни вертикальны, пружина нерастянута. Требуется найти частоты нормальных колебаний системы. Решить без

Для решения задачи о нормальных колебаниях системы из двух стержней и пружины, начнем с анализа системы в положении равновесия и затем рассмотрим малые отклонения от этого положения.

Шаг 1: Определение системы

У нас есть два одинаковых стержня длины $l$, которые шарнирно закреплены в верхних точках. В нижних концах стержни соединены пружиной жесткости $K$. В положении равновесия стержни находятся в вертикальном положении, а пружина нерастянута.

Шаг 2: Моделирование ...

Обозначим угол отклонения каждого стержня от вертикали как $\theta2$. При малых отклонениях можно использовать приближение $\sin(\theta) \approx \theta$.

При отклонении стержней под действием силы тяжести на каждый стержень будет действовать момент силы, который можно выразить как:

$$M1) \approx m g \cdot \frac{l}{2} \cdot \theta_1$$

$$M2) \approx m g \cdot \frac{l}{2} \cdot \theta_2$$

где $m$ — масса одного стержня, $g$ — ускорение свободного падения.

Пружина, соединяющая нижние концы стержней, будет создавать момент, который будет зависеть от разности углов отклонения:

$$M1 - x_2)$$

где $x2$ — горизонтальные смещения нижних концов стержней, которые можно выразить через углы:

$$x1) \approx l \theta2 = l \sin(\theta2$$

Таким образом, момент от пружины будет равен:

$$M1 - l \theta1 - l \theta_2)$$

Для каждого стержня можно записать уравнение движения:

I \frac{d^2 \theta1 + Kl(l \theta2)

I \frac{d^2 \theta2 + Kl(l \theta1)

где $I$ — момент инерции стержня относительно верхней точки, который равен $\frac{1}{3} m l^2$.

Запишем уравнения в матричной форме:

$$\begin{pmatrix} I \frac{d^2 \theta_1}{dt^2} \\ I \frac{d^2 \theta_2}{dt^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{m g l}{2} + Kl^2 -Kl^2 \\ -Kl^2 -\frac{m g l}{2} + Kl^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \theta_1 \\ \theta_2 \end{pmatrix}$$

Для нахождения частот нормальных колебаний решим характеристическое уравнение:

$$\det\left( \begin{pmatrix} -\frac{m g l}{2} + Kl^2 - \omega^2 I -Kl^2 \\ -Kl^2 -\frac{m g l}{2} + Kl^2 - \omega^2 I \end{pmatrix} \right) = 0$$

Решив это уравнение, мы получим собственные частоты $\omega2$.

Собственные частоты нормальных колебаний системы можно выразить как:

$$\omega^2 = \frac{K}{I} + \frac{m g}{l}$$

где $I = \frac{1}{3} m l^2$.

Таким образом, частоты нормальных колебаний системы будут:

$$\omega2 = \sqrt{\frac{K}{\frac{1}{3} m l^2} + \frac{m g}{l}}$$

Это и есть искомые частоты нормальных колебаний системы.