Given the movement the deformation gradient, the right and left Cauchy Green tensors, right Cauchy stretch tensor, the rotation tensor — задача №556128

Добавлена: 12.05.2026
Обновлена: 22.10.2026
Предмет: Теоретическая механика
Автор: Кэмп

#Математические методы в механике
#Механика сплошной среды

Условие:

Given the movement $

\begin{array}{l} \vec{x}(\vec{X}, t)=\left(X_{1}+\alpha t X_{3}\right) \vec{e}_{1}+\left(X_{2}+\alpha t X_{3}\right) \vec{e}_{2}+\left(X_{3}-\alpha t\left(X_{1}+X_{2}\right)\right) \vec{e}_{3} \\ \text { When } \alpha t \text { is equal to } 2 \end{array}

$\nCalculate:

the deformation gradient $\mathbf{F}$ ,
the right and left Cauchy Green tensors,
right Cauchy stretch tensor $\mathbf{U}$ ,
the rotation tensor $\mathb

Решение:

Найдем градиент деформации $\mathbf{F}$ .

Градиент деформации $\mathbf{F}$ определяется как матрица, состоящая из частных производных координат конечного положения по координатам начального положения:

\mathbf{F} = \frac{\partial \vec{x}}{\partial \vec{X}}

Для вектора перемещения $\vec{x}(\vec{X}, t)$ :

\vec{x}(\vec{X}, t) = \left(X_{1} + \alpha t X_{3}\right) \vec{e}_{1} + \left(X_{2} + \alpha t X_{3}\right) \vec{e}_{2} + \left(X_{3} - \alpha t (X_{1} + X_{2})\right) \vec{e}_{3}

Подставим $\alpha t = 2$ :

\vec{x}(\vec{X}, 2) = \left(X_{1} + 2 X_{3}\right) \vec{e}_{1} + \left(X_{2} + 2 X_{3}\right) \vec{e}_{2} + \left(X_{3} - 2 (X_{1} + X_{2})\right) \vec{e}_{3}

Теперь найдем частные производные:

\frac{\partial x_1}{\partial X_1} = 1, \quad \frac{\partial x_1}{\partial X_2} = 0, \quad \frac{\partial x_1}{\partial X_3} = 2

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое из следующих утверждений верно относительно градиента деформации F в механике сплошных сред?

Градиент деформации F описывает изменение объема материала.

Градиент деформации F является мерой локальной деформации и вращения, связывая дифференциальный элемент материальной линии в недеформированной конфигурации с его соответствующим элементом в деформированной конфигурации.

Градиент деформации F всегда является симметричным тензором.