Из вариационного принципа δ∫(√(2m(E-U)dl) получить дифференциальное уравнение траектории

Для получения дифференциального уравнения траектории из вариационного принципа, начнем с вариационного интеграла: \[ S = \int \sqrt{2m(E - U)} \, dl \] где \...

По вариационному принципу, мы ищем такие траектории, которые делают действие \( S \) стационарным. Для этого мы используем принцип наименьшего действия, который требует, чтобы вариация действия \( \delta S \) была равна нулю: \[ \delta S = 0 \] Вариация действия может быть записана как: \[ \delta S = \delta \int \sqrt{2m(E - U)} \, dl = \int \delta(\sqrt{2m(E - U)}) \, dl + \int \sqrt{2m(E - U)} \, \delta(dl) \] Используя правило вариации, мы можем записать: \[ \delta(\sqrt{2m(E - U)}) = \frac{1}{2\sqrt{2m(E - U)}} \cdot (2m \cdot (-\frac{dU}{dx} \cdot \delta x)) = -\frac{m}{\sqrt{2m(E - U)}} \cdot \frac{dU}{dx} \cdot \delta x \] где \( \delta x \) — вариация координаты. Теперь подставим это выражение в вариацию действия: \[ \delta S = \int \left(-\frac{m}{\sqrt{2m(E - U)}} \cdot \frac{dU}{dx} \cdot \delta x \right) dl + \int \sqrt{2m(E - U)} \, \delta(dl) = 0 \] Для нахождения уравнения движения мы можем использовать уравнение Эйлера-Лагранжа: \[ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) - \frac{\partial L}{\partial q} = 0 \] где \( L = \sqrt{2m(E - U)} \). В результате, после подстановки и упрощения, мы получаем дифференциальное уравнение для траектории: \[ m \frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{dU}{dx} \] Это уравнение описывает движение частицы под действием силы, связанной с градиентом потенциальной энергии \( U \). Таким образом, мы получили дифференциальное уравнение траектории из вариационного принципа, которое описывает динамику системы.