14. Маховик, радиуса R, начинает вращаться с постоянным угловым ускорением β{1}, достигнув угловой скорости ω, некоторое время вращается равномерно, затем тормозится (с постоянным угловым ускорением β{2} ) до остановки. Определить: время вращения

Для решения задачи, давайте разберем ее по шагам.

Шаг 1: Определение времени вращения маховика

1. Угловое ускорение и угловая скорость:
- Начальное угловое ускорение: $\beta_1$
- Конечная угловая скорость: $\omega$
- Угловое ускорение при торможении: $\beta_2$

2. Время разгона:
Используем формулу для углового ускорения:
$
\omega = \beta1 t1 \quad \Rightarrow \quad t1 = \frac{\omega}{\beta1}
$
где $t_1$ — время разгона.

3. Угловое перемещение при разгоне:
Угловое перемещение во время разгона:
$
\theta1 = \frac{1}{2} \beta1 t1^2 = \frac{1}{2} \beta1 \left(\frac{\omega}{\beta1}\right)^2 = \frac{\omega^2}{2\beta1}
$

4. В...: Обозначим время равномерного вращения как $t_2$. Угловое перемещение за это время: $ \theta2 $

5. : Время торможения $t_3$:

   0 = \omega - \beta3 \quad \Rightarrow \quad t2}

6. : Угловое перемещение во время торможения:

   \theta3 - \frac{1}{2} \beta3^2 = \omega \left(\frac{\omega}{\beta2 \left(\frac{\omega}{\beta2} - \frac{\omega^2}{2\beta2}

7. : Общее угловое перемещение:

   \theta = \theta2 + \theta1} + \omega t2}
   Учитывая, что маховик сделал $N$ оборотов:
   $$\theta = 2\pi N$$

8. : Подставим и решим уравнение:

   2\pi N = \frac{\omega^2}{2\beta2 + \frac{\omega^2}{2\beta_2}
   Из этого уравнения можно выразить $t_2$:
   t1} - \frac{\omega^2}{2\beta_2}}{\omega}

9. : Тангенциальное ускорение в конце равномерного движения:

   $$a2 R$$

10. : Нормальное ускорение в конце равномерного движения:

    $$a_n = \frac{\omega^2 R}{R} = \omega^2$$

11. : Полное ускорение:

    $$a = \sqrt{an^2} = \sqrt{(\beta_2 R)^2 + (\omega^2)^2}$$

Угол $\phi$ между полным ускорением и радиусом можно найти с помощью тангенса:

$$\tan(\phi) = \frac{an} = \frac{\beta_2 R}{\omega^2}$$

Следовательно,

$$\phi = \arctan\left(\frac{\beta_2 R}{\omega^2}\right)$$

1. $a_t(t)$:

• Постоянное значение $\beta_1 R$ на первом участке (разгон).
• Ноль на втором участке (равномерное движение).
• Отрицательное значение $-\beta_2 R$ на третьем участке (торможение).

2. $a_n(t)$:

• Увеличивается от нуля до $\omega^2 R$ на первом участке.
• Остается постоянным на втором участке.
• Уменьшается до нуля на третьем участке.

3. $a(t)$:

• Начинается с $\sqrt{(\beta_1 R)^2 + 0}$ на первом участке.
• Постоянное значение на втором участке.
• Уменьшается до $\sqrt{0 + (\omega^2)^2}$ на третьем участке.

Эти графики показывают изменение ускорений в зависимости от времени.