Найти положения равновесия системы, определить их характер и нарисовать фазовые траектории линеаризованных систем в окрестности положений равновесия

Добавлена: 06.05.2026
Обновлена: 06.05.2026
Предмет: Теоретическая механика
Автор: Кэмп

#Теория колебаний
#Статика и устойчивость механических систем

Условие:

Найти положения равновесия системы, определить их характер и нарисовать фазовые траектории линеаризованных систем в окрестности положений равновесия $ \left{

\begin{array}{l} \dot{x}=\sqrt{8 x+2 y-7}-1 \\ \dot{y}=x^{2}-4 x-y \end{array}

Решение:

Нахождение положений равновесия

Система имеет вид:
(1) ẋ = √(8x + 2y – 7) – 1
(2) ẏ = x² – 4x – y

Равновесные точки удовлетворяют ẋ = 0 и ẏ =
0.

Из (1):
√(8x + 2y – 7) – 1 = 0 ⟹ √(8x + 2y – 7) =
1.

Так как квадратный корень неотрицателен, требуемое условие – аргумент под корнем должен быть неотрицательным, но для равновесия мы получаем равенство!
Возводим обе части в квадрат:
8x + 2y – 7 = 1 ⟹ 8x + 2y = 8 ⟹ 4x + y =
4. (А)

Из (2):
x² – 4x – y...