Определить закон изменения модуля скорости материальной точки, движущейся в плоскости, если ее движение описывается в полярной системе координат следующим законом: r(t)= a(1-bt),(ф(t)=bt /1-bt , где a и b – положительные постоянные величины. Ответ: v= под

Для решения задачи, давайте начнем с того, что у нас есть полярные координаты $r(t)$ и $\phi(t)$:

$$r(t) = a(1 - bt)$$

$$\phi(t) = \frac{bt}{1 - bt}$$

где (...

Скорость в полярных координатах можно выразить через радиус и угол следующим образом:

$$v = \sqrt{\dot{r}^2 + (r \dot{\phi})^2}$$

где $\dot{r}$ и $\dot{\phi}$ – производные радиуса и угла по времени.

1. :

$$\dot{r} = \frac{d}{dt}[a(1 - bt)] = -ab$$

2. :

$$\dot{\phi} = \frac{d}{dt}\left[\frac{bt}{1 - bt}\right]$$

Используем правило дифференцирования частного:

$$\dot{\phi} = \frac{(1 - bt)(b) - bt(-b)}{(1 - bt)^2} = \frac{b(1 - bt + bt)}{(1 - bt)^2} = \frac{b}{(1 - bt)^2}$$

Теперь подставим найденные производные в формулу для скорости:

$$v = \sqrt{(-ab)^2 + (r \dot{\phi})^2}$$

где $r = a(1 - bt)$.

Подставим $r$ и $\dot{\phi}$:

$$v = \sqrt{(ab)^2 + \left[a(1 - bt) \cdot \frac{b}{(1 - bt)^2}\right]^2}$$

Упрощаем вторую часть:

$$= \sqrt{(ab)^2 + \left[\frac{ab(1 - bt)}{(1 - bt)^2}\right]^2}$$

$$= \sqrt{(ab)^2 + \frac{(ab)^2}{(1 - bt)^2}}$$

Вынесем $(ab)^2$ за скобки:

$$= \sqrt{(ab)^2 \left(1 + \frac{1}{(1 - bt)^2}\right)}$$

Теперь упростим:

$$= ab \sqrt{1 + \frac{1}{(1 - bt)^2}}$$

Таким образом, модуль скорости материальной точки будет равен:

$$v = ab \sqrt{1 + \frac{1}{(1 - bt)^2}}$$

При этом, учитывая, что $t \frac{1}{b}$, мы можем оставить ответ в таком виде.

$$v = ab \sqrt{1 + \frac{1}{(1 - bt)^2}}, \quad t \frac{1}{b}$$