Пластинавращается с угловой скоростью 𝜔=𝜔(𝑡)=4t. По пластине вдоль прямой АМ движется точка М соскоростью 𝑣=𝑣(𝑡)=60(t2+2t) ( направление вектора скорости 𝑣⃗ указано на чертеже). Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент

Для решения задачи о движении точки М на вращающейся пластине, нам необходимо определить абсолютную скорость и абсолютное ускор...

Дано, что угловая скорость \( \omega(t) = 4t \). В момент времени \( t = 1 \) с: \[ \omega(1) = 4 \cdot 1 = 4 \, \text{рад/с} \] Линейная скорость точки М задана формулой \( v(t) = 60(t^2 + 2t) \). В момент времени \( t = 1 \) с: \[ v(1) = 60(1^2 + 2 \cdot 1) = 60(1 + 2) = 60 \cdot 3 = 180 \, \text{см/с} \] Абсолютная скорость точки М \( \vec{V} \) складывается из линейной скорости \( \vec{v} \) и скорости, обусловленной вращением \( \vec{v}_{\text{rot}} \): \[ \vec{v}_{\text{rot}} = \vec{\omega} \times \vec{r} \] где \( \vec{r} \) — радиус-вектор от центра вращения до точки М. Длина радиус-вектора \( r \) равна \( b = 20 \, \text{см} \). Угловая скорость \( \omega \) направлена перпендикулярно радиус-вектору, поэтому: \[ \vec{v}_{\text{rot}} = \omega \cdot r \] Вектор \( \vec{v}_{\text{rot}} \) будет направлен перпендикулярно радиус-вектору. Учитывая угол \( a = 45^\circ \), мы можем разложить линейную скорость на компоненты: \[ \vec{v}_{\text{rot}} = 4 \cdot 0.2 \, \text{м} = 0.8 \, \text{м/с} \quad \text{(в радианах: 0.2 м = 20 см)} \] Теперь мы можем найти абсолютную скорость точки М: \[ \vec{V} = \vec{v} + \vec{v}_{\text{rot}} \] Линейная скорость \( \vec{v} \) направлена вдоль прямой АМ, а \( \vec{v}_{\text{rot}} \) перпендикулярна. Для нахождения абсолютной скорости используем теорему о сложении векторов: \[ |\vec{V}| = \sqrt{v^2 + v_{\text{rot}}^2} \] Подставляем значения: \[ |\vec{V}| = \sqrt{(180)^2 + (80)^2} = \sqrt{32400 + 6400} = \sqrt{38800} \approx 196.97 \, \text{см/с} \] Абсолютное ускорение точки М складывается из тангенциального и центростремительного ускорений: 1. \( a_t = \frac{dv}{dt} \): \[ a_t = \frac{d}{dt}[60(t^2 + 2t)] = 60(2t + 2) = 120(t + 1) \] В момент времени \( t = 1 \): \[ a_t(1) = 120(1 + 1) = 240 \, \text{см/с}^2 \] 2. \( a_c = \omega^2 r \): \[ a_c = (4)^2 \cdot 20 = 16 \cdot 20 = 320 \, \text{см/с}^2 \] Теперь находим абсолютное ускорение: \[ |\vec{A}| = \sqrt{ac^2} \] Подставляем значения: \[ |\vec{A}| = \sqrt{(240)^2 + (320)^2} = \sqrt{57600 + 102400} = \sqrt{160000} = 400 \, \text{см/с}^2 \] Таким образом, абсолютная скорость точки М в момент времени \( t = 1 \) с составляет примерно \( 196.97 \, \text{см/с} \), а абсолютное ускорение — \( 400 \, \text{см/с}^2 \).