Точка движется по заданной траектории по закону s ( t ) = − 6 + 5 t − t 2 м. В момент времени t = 1 c нормальное ускорение равно a n = 5 м/с2. Радиус кривизны траектории ρ (м) в данный момент равен … ?

Для нахождения радиуса кривизны траектории \( \rho \) в момент времени \( t = 1 \) с заданной функцией перемещения \( s...

Скорость \( v(t) \) — это первая производная функции перемещения по времени: \[ v(t) = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(-6 + 5t - t^2) = 5 - 2t \] Теперь подставим \( t = 1 \): \[ v(1) = 5 - 2 \cdot 1 = 5 - 2 = 3 \, \text{м/с} \] Ускорение \( a(t) \) — это вторая производная функции перемещения по времени: \[ a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(5 - 2t) = -2 \, \text{м/с}^2 \] Нормальное ускорение \( a_n \) связано с радиусом кривизны и скоростью: \[ a_n = \frac{v^2}{\rho} \] Мы знаем, что в момент времени \( t = 1 \) нормальное ускорение равно \( a_n = 5 \, \text{м/с}^2 \) и скорость \( v(1) = 3 \, \text{м/с} \). Подставим известные значения в формулу: \[ 5 = \frac{3^2}{\rho} \] Решим уравнение для \( \rho \): \[ 5 = \frac{9}{\rho} \] Умножим обе стороны на \( \rho \): \[ 5\rho = 9 \] Теперь разделим обе стороны на 5: \[ \rho = \frac{9}{5} = 1.8 \, \text{м} \] Радиус кривизны траектории в момент времени \( t = 1 \) равен \( \rho = 1.8 \, \text{м} \).