Точка движется, замедляясь, по прямой с ускорением, модуль которого зависит от ее скорости v как , где — постоянная. В начальный момент скорость точки равна . Какой путь она пройдет до остановки и за какое время?

Добавлена: 12.06.2026
Обновлена: 12.06.2026
Предмет: Теоретическая механика
Автор: Кэмп

#Динамика материальной точки и системы

Точка движется, замедляясь, по прямой с ускорением, модуль которого зависит от ее скорости v как , где — постоянная. В начальный момент скорость точки равна . Какой путь она пройдет до остановки и за какое время?

Условие:

Точка движется, замедляясь, по прямой с ускорением, модуль которого зависит от ее скорости v как $a = \epsilon v$ , где $\epsilon$ — постоянная. В начальный момент скорость точки равна $v_0$ . Какой путь она пройдет до остановки и за какое время?

Решение:

1. Дано

Ускорение точки: $a = -\alpha v$ (знак «минус» ставим, так как точка замедляется, а $\alpha > 0$ — постоянная величина).
Начальная скорость: $v(0) = v_0$ .
Конечная скорость: $v = 0$ (точка останавливается).

2. Найти

Путь до остановки: $S$ .
Время до остановки: $t$ .

3. Решение

Шаг 1: Нахождение времени движения $t$

Ускорение по определению — это производная скорости по времени:

a = \frac{dv}{dt}

Подставим выражение для ускорения:

\frac{dv}{dt} = -\alpha v

Разделим переменные (перенесем

v

влево, а

dt

вправо):

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое математическое действие необходимо выполнить для нахождения времени движения точки, если известно, что ускорение зависит от скорости как $a = -\alpha v$?

Проинтегрировать ускорение по времени.

Проинтегрировать отношение $dv/v$ по времени.

Продифференцировать скорость по ускорению.