В некоторой области пространства имеется электростатическое поле, потенциал которого зависит от координат и по следующему закону: . Найти закон изменения плотности стороннего заряда в этом поле, считая, что проницаемость среды равна .

Добавлена: 27.04.2026
Обновлена: 27.04.2026
Предмет: Теоретическая механика
Автор: Кэмп

Условие:

В некоторой области пространства имеется электростатическое поле, потенциал которого зависит от координат $x$ и $z$ по следующему закону: $\varphi(x, y, z)=7 x^{2}-\frac{3}{y^{2}}+\frac{10}{z^{4}}$ . Найти закон изменения плотности стороннего заряда в этом поле, считая, что проницаемость среды равна $\varepsilon$ .

Решение:

Рассмотрим данное электростатическое поле с потенциалом
φ(x, y, z) = N·x² – M/y² + (N + M)/z⁴,
где N = 7, M =
3.

Задача – найти плотность стороннего заряда ρ, если проницаемость среды равна ε. Для этого воспользуемся уравнением Пуассона для стационарного электростатики:
div E = ρ/ε,
а поскольку E = –grad φ, получаем
div E = –Δφ,
то есть
ρ = –ε·Δφ.
Таким образом, необходимо вычислить лапласиан Δφ, который определяется как:
Δφ = ∂²φ/∂x² + ∂²φ/∂y² + ∂²φ/∂z².

Шаг 1. Найдём вт...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое уравнение связывает плотность стороннего заряда $ \rho $ с потенциалом электростатического поля $ \varphi $ в среде с проницаемостью $ \varepsilon $?

$\rho = -\varepsilon \cdot \text{grad} \varphi$