Для защиты оборудования, приборов или транспортных машин от нежелательного воздействия высокочастотных вибраций, передающихся через основания, узлы крепления или элементы подвески, создают систему виброизоляции. При этом, как правило, разработчики

Добавлена: 28.04.2026
Обновлена: 28.04.2026
Предмет: Теория машин и механизмов
Автор: Кэмп

#Вибрации в механических системах
#Теория колебаний машин

Условие:

Для защиты оборудования, приборов или транспортных машин от нежелательного воздействия высокочастотных вибраций, передающихся через основания, узлы крепления или элементы подвески, создают систему виброизоляции. При этом, как правило, разработчики стараются избежать резонансных явлений. Система виброизоляции вместе с техническим объектом (ТО) сводится к расчётной схеме гармонического осциллятора. Однако масса $m$ ТО может изменяться в широких пределах (например, в случае разной загрузки железнодорожного вагона или кузова автомобиля, при использовании в сочетании с одной и той же системой виброизоляции различных приборов и оборудования). В таком случае полезным оказывается так называемый равночастотный виброизолятор, жесткость упругих элементов которого изменяется в зависимости от массы защищаемого ТО так, что частота свободных колебаний системы остается постоянной. Для этого применяют, например, витые конические пружины с нелинейной статической характеристикой (см. рис.), т.е. с нелинейной зависимостью $P(u)$ силы сжатия от перемещения и (осадки) ее свободного конца.

Построить математическую модель системы с такой виброизоляцией (т.е. построить статическую характеристику изолятора $P(u)$ ). Учесть, что минимальная масса защищаемого объекта равна $m_{0}$ и до этого значения характеристика является линейной (т.е. до значений силы $P(u) \geq P_{0}$ ). Считать частоту свободных колебаний $\omega_{0}$ , на которую настроен данный виброизолятор, постоянной и равной $10 \mathrm{c}^{-1}$ .

Решение:

Наша задача – построить статическую характеристику виброизолятора P(u), которая обеспечивает постоянную частоту свободных колебаний ω₀ при изменении массы защищаемого объекта. Фактически, при установке объекта на изолятор равновесие определяется соотношением

P(u) = m·g (1)

а частота свободных колебаний определяется как

ω₀ = √[k_eff/m] = √[P′(u)/m] (2)

где P′(u) – производная силы сжатия по перемещению, т.е. эффективная жёсткость изолятора.

Шаг 1. Выразим условие постоянства частоты. Из (2) получаем
P′(u) = m·ω₀².
При этом, поскольку равновесие устанавливается по (1), то масса объекта определяется через силу:
m = P(u)/g.
Подставляя m, получаем дифференциальное условие
P′(u) = [ω₀²/g]·P(u). (3)

Шаг 2. Решим полученное дифференциальное уравнение. Оно имеет вид
dP/du = (ω₀²/g)·P(u).
Разделим переменные:
dP/P = (ω₀²/g) du.
Интегрируем обе части:
∫(1/P) dP = (ω₀²/g) ∫ du → ln|P(u)| = (ω₀²/g) u + C.
Возводя в экспоненту, получим общее решение:
P(u) = A·exp[(ω₀²/g)·u], (4)
где A = exp(C) – произвольная постоянная.

Шаг 3. Учтём условие линейного участка. По условию задачи минимальная масса защищаемого объекта равна m₀, и при значениях силы P(u) ≤ P₀ поведение изолятора должно быть линейным. Запишем, что до P₀ характеристика имеет вид:
P(u) = m₀·ω₀²·u. (5)
В равновесии для минимальной массы выполняется (1):
P₀ = m₀·g.
Определим при каком смещении u₀ из (5) достигается это значение:
m₀·ω₀²·u₀ = m₀·g → u₀ = g/ω₀².

Шаг 4. Обеспечим непрерывность характеристик в точке u₀. Для u = u₀ характеристика (4) должна совпадать с (5). Подставим u₀ в (4):
P(u₀) = A·exp[(ω₀²/g)·u₀] = A·exp[(ω₀²/g)·(g/ω₀²)] = A·e.
Но с другой стороны, по (5)
P(u₀) = m₀·ω₀²·(g/ω₀²) = m₀·g.
Приравнивая, найдём A:
A·e = m₀·g → A = m₀·g/e.

Шаг 5. Запишем итоговую модель статической характеристики. Мы получаем двухфазную характеристику изолятора:

Если 0 ≤ u ≤ u₀ (то есть при P(u) ≤ m₀·g):
P(u) = m₀·ω₀²·u,
где u₀ = g/ω₀².

Если u ≥ u₀ (то есть при P(u) ≥ m₀·g):
P(u) = (m₀·g/e) · exp[(ω₀²/g)·u].

Проверим в точке u = u₀:
P(u₀) = (m₀·g/e) · exp[(ω₀²/g)·(g/ω₀²)] = (m₀·g/e) · exp(1) = m₀·g,
что гарантирует непрерывность.

Шаг 6. Интерпретация. При добавлении дополнительной массы m > m₀ равновесное смещение u возрастает так, что с одной стороны выполняется условие равновесия (P(u) = m·g), а с другой – производная P′(u) = (ω₀²/g) P(u) даёт эффективную жёсткость k_...