Найти наибольшую плотность циркуляции векторного поля в точке .

Добавлена: 28.04.2026
Обновлена: 28.04.2026
Предмет: Теория машин и механизмов
Автор: Кэмп

#Динамика машин
#Теория колебаний машин

Найти наибольшую плотность циркуляции векторного поля в точке .

Условие:

Найти наибольшую плотность циркуляции векторного поля $\vec{F}=-2 x \sqrt{z} \vec{\imath}+\frac{x^{2} z^{2}}{\sqrt{y}} \vec{\jmath}+3 x y z \vec{k}$ в точке $M_{0}(1 ; 1 ; 4)$ .

Решение:

Рассмотрим векторное поле
F = (–2·x·√z, x²·z²/√y, 3·x·y·z)

Нам нужно найти наибольшую плотность циркуляции в точке M₀(1; 1; 4). Согласно теории, наибольшая плотность циркуляции в точке равна модулю векторного вращения (curl F) в этой точке.

Шаг 1. Вычислим компоненты векторного вращения. Напомним, что
curl F = (∂R/∂y – ∂Q/∂z, ∂P/∂z – ∂R/∂x, ∂Q/∂x – ∂P/∂y)
где P = –2x√z, Q = x²z²/√y, R = 3xyz.

Шаг 2. Вычислим первую компоненту (ось i):
∂R/∂y = ∂(3xyz)/∂y = 3xz
∂Q/∂z = ∂(x²z²/√y)/∂z = 2x²z/√y
Таким образом, п...