Определить прогибы w статически-неопределимой жёсткозаделанной с одной стороны (х = 0) и шарнирно-опёртой с другой стороны балки единичной длины постоянной жесткости из решения дифференциального уравнения , , приняв . Принять шаг сетки . Указание в точке

Добавлена: 05.05.2026
Обновлена: 05.05.2026
Предмет: Теория машин и механизмов
Автор: Кэмп

#Расчёт на устойчивость и вибронагруженность
#Прочность элементов машин

Условие:

Определить прогибы w статически-неопределимой жёсткозаделанной с одной стороны (х = 0) и шарнирно-опёртой с другой стороны балки единичной длины постоянной жесткости из решения дифференциального уравнения (EJ\frac{d^2w}{dx^2}=\frac{q}{8}(4x^2-5x+1)), (w(0)=0), (w'(0)=0) приняв (q/EJ = 100). Принять шаг сетки (\Delta x=0,1). Указание в точке x=0 краевое условие (w'(0)) представить в виде "центральной разности " Производная функции w по x в точке x=0 равна ((w_1-w_2)/(2\Delta x)).

Решение:

Записать дифференциальное уравнение: У нас есть уравнение:
$EJ \frac{d^2w}{dx^2} = \frac{q}{8}(4x^2 - 5x + 1)$
Подставим $\frac{q}{EJ} = 100$ :
$\frac{d^2w}{dx^2} = 100 \cdot \frac{1}{8}(4x^2 - 5x + 1) = 12.5(4x^2 - 5x + 1)$
Записать уравнение в конечных разностях: Мы будем использовать метод конечных разностей для приближенного решения. Обозначим $w_i$ как значение прогиба в узле $x_i$ , где $x_i = i \Delta x$ и $\Delta x = 0.1$ .

В узлах $x_i$ производные можно выразить через конечные разности:
$\frac{d^2w}{dx^2} \approx \frac{w_{i+1} - 2w_i + w_{i-1}}{(\Delta x)^2}$
Подставить в уравнение: Подставим это в наше уравнение:
$\frac{w_{i+1} - 2w_i + w_{i-1}}{(\Delta x)^2} = 12.5(4(i \Delta x)^2 - 5(i \Delta x) + 1)$
...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое из следующих утверждений наиболее точно описывает, как краевое условие $w'(0)=0$ преобразуется в дискретную форму при использовании метода конечных разностей с центральной разностью?

$w_1 = w_0$