Привести уравнения к каноническому виду:

Найдем преобразование, после которого уравнение
  x²·zₓₓ + 2xy·zₓ_y + y²·z_y_y = 0
принимает канонический вид.

1. Определим тип уравнения. Запишем коэффициенты при вторых производных:
     A = x², 2B = 2xy, C = y².
   Вычислим дискриминант:
     B² – AC = (xy)² – x²·y² = x²y² – x²y² = 0.
   Таким образом, уравнение параболическое (выход двойного корня).
   
   
2. Найдем характеристические кривые. Для характеристики решения необходимо решить уравнение
     A(dy/dx)² – 2B(dy/dx) + C = 0.
   Подставляем A, B, C:
     x²(dy/dx)² – 2xy(dy/dx) + y² = 0.
   Разделим на x² (при x ≠ 0):
     (dy/dx)² – 2(y/x)(dy/dx) + (y/x)² = 0,
   что можно записать как
     [dy/dx – y/x]² = 0.
   Отсюда получаем единственное решение:
     dy/dx = y/x.
   Интегрируя, получим общее семейство характеристик:
     y = C·x.
   Таким образом, естественным выбором нового переменного является отношение y/x.
   
   
3. Введем новые переменные. Пусть
     ξ = y/x – каноническая переменная вдоль характеристик,
     η = x – дополнительная независимая переменная.
   При обратном переходе имеем:
     x = η, y = ξ·η.
   
   
4. Найдем выражения первых производных функции z(x,y) через z(η,ξ). Используем цепное правило:
     zₓ = z_...