Решить уравнение, приведенное в п. 1, с помощью преобразования Лапласа. \[ {array}{l} { 1. } {y}+2 {y}+2 y=3 {r}+2 r, r= \{ {array}{ll} ^{-2 t} & { при } t 0, \\0 & { при } t

Добавлена: 11.05.2026
Обновлена: 11.05.2026
Предмет: Теория машин и механизмов
Автор: Кэмп

#Динамика машин
#Теория колебаний машин

$Решить уравнение, приведенное в п. 1, с помощью преобразования Лапласа. \[ {array}{l} { 1. } {y}+2 {y}+2 y=3 {r}+2 r, r= \{ {array}{ll} ^{-2 t} & { при } t 0, \\0 & { при } t$

Условие:

Решить уравнение, приведенное в п. 1, с помощью преобразования Лапласа. $

\begin{array}{l} \text { 1. } \ddot{y}+2 \dot{y}+2 y=3 \dot{r}+2 r, \quad r=\left\{ \begin{array}{ll}\ne^{-2 t} & \text { при } t \geq 0, \\0 & \text { при } t<0, \end{array}

\\text { н.у.: } y(0)=0, \dot{y}(0)=0 . \end{array} $

Решение:

Запишем уравнение: У нас есть уравнение второго порядка:
$\ddot{y} + 2\dot{y} + 2y = 3\dot{r} + 2r$
где $r(t) = e^{-2t}$ при $t \geq 0$ и $r(t) = 0$ при $t < 0$ .
Найдем производные $\dot{r}$ и $r$ : Для $r(t) = e^{-2t}$ :
$\dot{r}(t) = -2e^{-2t}$
Таким образом, $3\dot{r} + 2r = 3(-2e^{-2t}) + 2(e^{-2t}) = -6e^{-2t} + 2e^{-2t} = -4e^{-2t}$ .
Запишем уравнение с учетом $r$ : Теперь у нас есть:
$\ddot{y} + 2\dot{y} + 2y = -4e^{-2t}$
Применим преобразование Лапласа: Обозначим $Y(s) = \mathcal{L}\{y(t)\}$ ...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое из следующих утверждений верно относительно применения преобразования Лапласа к производным функции $y(t)$ при нулевых начальных условиях $y(0)=0$ и $\dot{y}(0)=0$?

Преобразование Лапласа для $\ddot{y}(t)$ равно $s^2 Y(s) - sy(0) - \dot{y}(0)$ , а для $\dot{y}(t)$ равно $sY(s) - y(0)$ .