Для отображения , определенного на фазовой плоскости, векторное поле называется гамильтоновым, если выполняется Проверьте, что фазовый поток , генерируемый гамильтоновым векторным полем, является симплектоморфизмом, то есть . Докажите, что эволюция

Добавлена: 27.04.2026
Обновлена: 27.04.2026
Предмет: Теория управления
Автор: Кэмп

#Теория динамических систем
#Кибернетика и управление

Для отображения , определенного на фазовой плоскости, векторное поле называется гамильтоновым, если выполняется Проверьте, что фазовый поток , генерируемый гамильтоновым векторным полем, является симплектоморфизмом, то есть . Докажите, что эволюция

Условие:

Для отображения $f \in \mathscr{C}^{\infty}\left(\mathbf{R}^{2}\right)$ , определенного на фазовой плоскости, векторное поле $X_{f}$ называется гамильтоновым, если выполняется

i_{X_{f}} \omega=-\mathrm{d} f, \quad \omega \stackrel{\text { def }}{=} \mathrm{d} p \wedge \mathrm{~d} x

Проверьте, что фазовый поток

\varphi_{t}: \mathbf{R}^{2} \rightarrow \mathbf{R}^{2}

, генерируемый гамильтоновым векторным полем, является симплектоморфизмом, то есть

\varphi_{t}^{*} \omega=\omega

. Докажите, что эволюция наблюдаемой

\varphi_{t}^{*} f

на фазовом плоскости, где поток порожден гамильтонианом

H(x, p)

, определяется скобками Пуассона

\{f, H\}=-i_{X_{f}} i_{X_{H}} \omega

Выяснить, работает ли тождество Якоби

\{f,\{g, h\}\}+\{g,\{h, f\}\}+\{h,\{f, g\}\}=0

. Показать, что производная Ли гамильтоновых векторных полей может быть поднята до операции скобок Пуассона в смысле

\left[X_{f}, X_{g}\right]=-X_{\{f, g\}}

так что гамильтоновы векторные поля образуют подалгебру в алгебре Ли

\mathfrak{X}\left(\mathbf{R}^{2}\right)

векторных полей на фазовой плоскости.

Решение:

Часть 1: Проверка, что фазовый поток является симплектоморфизмом

Дано: $i_{X_f} \omega = -df$ , где $\omega = dp \wedge dx$

Рассмотрим производную Ли формы $\omega$ вдоль векторного поля $X_f$ :

$L_{X_f} \omega = d(i_{X_f} \omega) + i_{X_f}(d\omega)$

Поскольку $\omega$ - замкнутая форма (dω = 0), и $i_{X_f} \omega = -df$ , получаем:

$L_{X_f} \omega = d(-df) + 0 = -d^2f = 0$

Таким образом, форма $\omega$ инвариантна относительно потока $\varphi_t$ , порожденного $X_f$ , то есть $\varphi_t^* \omega = \omega$ . Это означает, что $\varphi_t$ ...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое свойство симплектической формы $\omega$ является ключевым для доказательства того, что фазовый поток, генерируемый гамильтоновым векторным полем, является симплектоморфизмом?

Её точность ((\omega = d\alpha) для некоторой формы (\alpha)).

Её замкнутость ((d\omega = 0)).

Её невырожденность.