\{ . вычислить значение выражения 5 ( 0^{ } u2(t)dt )+3 ( { }^{T} u2(t)dt ), где T - оптимальное время, - точка переключения оптимального управления, а u( ) - оптимальное управление.

Добавлена: 16.04.2026
Обновлена: 16.04.2026
Предмет: Теория управления
Автор: Кэмп

#Методы оптимизации и принятия решений
#Теория динамических систем

$\{ . вычислить значение выражения 5 ( 0^{ } u2(t)dt )+3 ( { }^{T} u2(t)dt ), где T - оптимальное время, - точка переключения оптимального управления, а u( ) - оптимальное управление.$

Условие:

\left{

\begin{array}{l} \dot x_1 = -x_1+x_2+u_1,\\ \dot x_2 = u_2,\\ x_1(0)= 16,\quad x_2(0)=0,\\ x(t_1)\in M_1=\{0 \} \subset E^2,\\ u\in U = \{u\in E^2:\ u_1=0,\quad |u_2|\le 1 \},\\ {\displaystyle t_1 \to \min\limits_{u(\cdot)\in Y_U}, } \end{array}

\right.

вычислить значение выражения

5\exp\left(\int_0^{\tau}\bar u_2(t)dt\right)+3\exp\left(\int_{\tau}^{T}\bar u_2(t)dt\right),

где T - оптимальное время, \tau - точка переключения оптимального управления, а \bar u(\cdot) - оптимальное управление.

Решение:

Шаг 1: Запишем систему уравнений

У нас есть система:

\begin{cases} \dot{x}_1 = -x_1 + x_2 + u_1, \\ \dot{x}_2 = u_2, \\ x_1(0) = 16, \quad x_2(0) = 0. \end{cases}

Шаг 2: Условия управления

Условия на управление:

\nu \in U = \{u \in E^2: u_1 = 0, \quad |u_2| \le 1\}.

Это означает, что мы можем управлять только $u_2$ , а $u_1$ всегда равен нулю.

Шаг 3: Оптимальное управление

Оптимальное управление будет состоять в управлении $u_2$ в пределах $[-1, 1]$ . Мы можем использовать $u_2 = 1$ для ускорения изменения $x_2$ и $u_2 = -1$ для замедления.