Однородная горизонтальная платформа радиусом м и массой кг, на которой расположены три материальные точки, свободно вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью рад/с. Найти угловую скорость платформы после того, как точки начнут перемещаться по

Добавлена: 04.05.2026
Обновлена: 04.05.2026
Предмет: Теория управления
Автор: Кэмп

#Теория автоматического управления
#Теория динамических систем

Однородная горизонтальная платформа радиусом м и массой кг, на которой расположены три материальные точки, свободно вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью рад/с. Найти угловую скорость платформы после того, как точки начнут перемещаться по

Условие:

Однородная горизонтальная платформа радиусом $R=1$ м и массой $m_{0}=20$ кг, на которой расположены три материальные точки, свободно вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью $\omega_{z 0}=2$ рад/с. Найти угловую скорость платформы после того, как точки начнут перемещаться по платформе со скоростями $v_{i}, i=1 \ldots 3$ по окружностям вокруа оси вращения. Массы даны в ке, относительные скорости - в м/с. Радиус меньшей окружности $r=0.7$ м, радиус большей совпадает с радиусом платформы. Трением пренебречь. $

\begin{array}{l}\nm_{1}=19, m_{2}=18, m_{3}=17 \\ v_{1}=1, v_{2}=2, v_{3}=3 \end{array}

Решение:

Исходно вся система (платформа и материальные точки) вращается с угловой скоростью ω₀ = 2 рад/с. Момент инерции платформы равен Iₚ = (1/2)·m₀·R², где m₀ = 20 кг, R = 1 м, то есть Iₚ = 0,5·20·1² = 10 кг·м². Точки, находясь на фиксированных радиусах, имеют моменты инерции, равные mᵢ·rᵢ². Таким образом, исходный угловой момент всей системы:

L₍исх₎ = [Iₚ + Σ (mᵢ·rᵢ²)] · ω₀.
После начала движения точек по окружностям с постоянными скоростями vᵢ относительно платформы добавляется внутренняя (относительная) скорость точек. При этом для каждой материальной точки су...