Сферический маятник - точка массой , которая движется по сфере радиуса в поле тяжести, имеет функцию Лагранжа , где угловые координаты точки на поверхности сферы. Указать интегралы движения.

Добавлена: 13.05.2026
Обновлена: 13.05.2026
Предмет: Теория управления
Автор: Кэмп

#Теория динамических систем
#Кибернетика и управление

Сферический маятник - точка массой , которая движется по сфере радиуса в поле тяжести, имеет функцию Лагранжа , где угловые координаты точки на поверхности сферы. Указать интегралы движения.

Условие:

Сферический маятник - точка массой $m$ , которая движется по сфере радиуса $a$ в поле тяжести, имеет функцию Лагранжа $L=m a^{2}\left(\dot{\theta}^{2}+\dot{\varphi}^{2} \sin ^{2} \theta\right) / 2+m g l \cos \theta$ , где $\theta, \varphi$ угловые координаты точки на поверхности сферы. Указать интегралы движения.

Решение:

Запишем функцию Лагранжа: L = (m a² / 2)(\dot{θ}² + \dot{ϕ}² sin²θ) - m g a cosθ.
Найдем уравнения движения с помощью уравнений Эйлера-Лагранжа: Уравнение Эйлера-Лагранжа имеет вид: d/dt(∂L/∂\dot{q}) - ∂L/∂q = 0, где q - обобщенные координаты (в нашем случае θ и ϕ).
Найдем обобщенные импульсы: p_θ = ∂L/∂\dot{θ} = m a² \dot{θ}, p_ϕ = ∂L/∂\dot{ϕ} = m a² sin²θ ...