Задано каноническое преобразование . Каким условиям должны удовлетворять функции и для того, чтобы преобразование было каноническим?

Добавлена: 06.05.2026
Обновлена: 06.05.2026
Предмет: Теория управления
Автор: Кэмп

#Теория систем и системотехника
#Теория динамических систем

Задано каноническое преобразование . Каким условиям должны удовлетворять функции и для того, чтобы преобразование было каноническим?

Условие:

Задано каноническое преобразование $\tilde{q}_{i}=\tilde{q}_{i}(q, p, t), \quad \tilde{p}_{i}=\tilde{p}_{i}(q, p, t)(i=1, n)$ . Каким условиям должны удовлетворять функции $f_{1}(t)$ и $f_{2}(t)$ для того, чтобы преобразование $q_{i}^{*}=f_{1}(t) \tilde{q}_{i}(q, p, t), \quad p_{i}^{*}=f_{2}(t) \tilde{p}_{i}(q, p, t)$ было каноническим?

Решение:

Для того чтобы преобразование $q_{i}^{*}=f_{1}(t) \tilde{q}_{i}(q, p, t)$ и $p_{i}^{*}=f_{2}(t) \tilde{p}_{i}(q, p, t)$ было каноническим, необходимо, чтобы выполнялись условия сохранения структуры канонических уравнений Гамильтона. Это означает, что новые переменные $(q_{i}^{*}, p_{i}^{*})$ должны удовлетворять уравнениям:

\{ q_{i}^{*}, p_{j}^{*} \} = \delta_{ij},

где $\{ \cdot, \cdot \}$ — это пуассонова скобка, а $\delta_{ij}$ — символ Кронекера.

Шаг 1: Вычисление пуассоновых скобок

Сначала мы должны выразить пуассоновы скобки для новых переменных:

\{ q_{i}^{*}, p_{j}^{*} \} = \{ f_{1}(t) \tilde{q}_{i}(q, p, t), f_{2}(t) \tilde{p}_{j}(q, p, t) \}.

Используя правило произведения для пуассоновых скобок, получаем:

\{ q_{i}^{*}, p_{j}^{*} \} = f_{1}(t) f_{2}(t) \{ \tilde{q}_{i}, \tilde{p}_{j} \} + f_{1}(t) \tilde{p}_{j} \frac{d f_{2}}{dt} \frac{\partial \tilde{q}_{i}}{\partial p} - f_{2}(t) \tilde{q}_{i} \frac{d f_{1}}{dt} \frac{\partial \tilde{p}_{j}}{\partial q}.

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое условие должно выполняться для функций $f_1(t)$ и $f_2(t)$, чтобы преобразование $q_{i}^{*}=f_{1}(t) \tilde{q}_{i}$ и $p_{i}^{*}=f_{2}(t) \tilde{p}_{i}$ было каноническим, если $(\tilde{q}_i, \tilde{p}_i)$ уже являются каноническими переменными?

Функции $f_1(t)$ и $f_2(t)$ должны быть постоянными во времени.