Брошено две игральных кости. Предполагается, что все комбинации выпавших очков равновероятны. Найти условную вероятность того, что выпали две пятёрки, если известно, что сумма выпавших очков делится на пять

Для решения задачи найдем условную вероятность того, что выпали две пятёрки, при условии, что сумма выпавших очков делится на пять.

Обозначим с...

Событие $A$ (выпали две пятёрки) происходит только в одном случае: когда на первой и второй кости выпала пятёрка. Всего существует $6 \times 6 = 36$ возможных исходов при броске двух костей. Таким образом:

$$P(A) = \frac{1}{36}$$

Теперь найдем событие $B$ (сумма выпавших очков делится на пять). Возможные суммы, которые делятся на 5, это 5, 10 и 15.

• Сумма 5: возможные комбинации (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) — всего 4 комбинации.
• Сумма 10: возможные комбинации (4,6), (5,5), (6,4) — всего 3 комбинации.
• Сумма 15: возможная комбинация (6,6) — всего 1 комбинация.

Теперь суммируем количество благоприятных исходов:

$$\text{Всего благоприятных исходов} = 4 + 3 + 1 = 8$$

Следовательно, вероятность $P(B)$:

$$P(B) = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}$$

Теперь найдем вероятность $P(A \cap B)$ (выпали две пятёрки и сумма делится на 5). Если выпали две пятёрки, то сумма равна 10, которая делится на 5. Таким образом, событие $A$ является подмножеством события $B$:

$$P(A \cap B) = P(A) = \frac{1}{36}$$

Теперь подставим найденные значения в формулу для условной вероятности:

$$P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{36}}{\frac{2}{9}} = \frac{1}{36} \times \frac{9}{2} = \frac{9}{72} = \frac{1}{8}$$

Условная вероятность того, что выпали две пятёрки, если известно, что сумма выпавших очков делится на пять, равна $\frac{1}{8}$.