Условие:
Дана функция распределения непрерывной случайной величины 𝑋:
𝐹(𝑥) = {
8
7
0 при 𝑥 ≤ 1
(1 −
1
𝑥
3
) при 𝑥 ∈ (1; 2)
1 при 𝑥 ≥ 2
Найти: а) 𝑃(1,5 ≤ 𝑋 < 2,5); б) математическое ожидание случайной величины 𝑋.
Решение:
Дана функция распределения 𝑋:
F(x) = { 0, при x ≤ 1
1 – 1/x³, при x ∈ (1; 2)
1, при x ≥ 2
Обратите внимание, что при x = 2 функция F(x) имеет разрыв. Действительно, если подставить x = 2 в формулу для (1; 2), получаем:
F(2⁻) = 1 – 1/2³ = 1 – 1/8 = 7/8,
а F(2) = 1.
Таким образом, в точке x = 2 сосредоточена дополнительная вероятность
P(X = 2) = F(2) – F(2⁻) = 1 – 7/8 = 1/8.
На промежутке (1; 2) функция F(x) непрерывна и дифференцируема, поэтому на нём можно найти плотность вероятности f(x) как производную F(x): f(x) = dF(x)/dx = d/dx (1 – 1/x³) = 3/x⁴, ...