Дана плотность распределения непрерывной случайной величины : 0, если < −1 f(x) = { 2, если − 1 ≤ ≤ 1 . 0, если > 1 Найти: а) константу ; б) вероятность (−3 ≤ ≤ 0,5); в) математическое ожидание случайной величины .

Для решения данной задачи, давайте разберем каждый пункт по порядку.

а) ...

Плотность вероятности \( f(x) \) должна удовлетворять условию нормировки, то есть интеграл от плотности по всему пространству должен равняться 1: \[ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1 \] В нашем случае плотность задана следующим образом: \[ f(x) = \begin{cases} 0, x -1 \\ 2, -1 \leq x \leq 1 \\ 0, x 1 \end{cases} \] Теперь вычислим интеграл: \[ \int{-1}^{1} 2 \, dx \] Вычислим этот интеграл: \[ \int_{-1}^{1} 2 \, dx = 2 \cdot (1 - (-1)) = 2 \cdot 2 = 4 \] Так как интеграл равен 4, а не 1, мы можем нормировать плотность, введя константу \( k \): \[ f(x) = \begin{cases} 0, x -1 \\ k \cdot 2, -1 \leq x \leq 1 \\ 0, x 1 \end{cases} \] Теперь найдем \( k \): \[ \int_{-1}^{1} k \cdot 2 \, dx = k \cdot 4 = 1 \implies k = \frac{1}{4} \] Таким образом, нормированная плотность будет: \[ f(x) = \begin{cases} 0, x -1 \\ \frac{1}{2}, -1 \leq x \leq 1 \\ 0, x 1 \end{cases} \] Теперь найдем вероятность: \[ P(-3 \leq X \leq 0.5) = \int_{-3}^{0.5} f(x) \, dx \] Так как \( f(x) = 0 \) для \( x -1 \), мы можем ограничить пределы интегрирования: \[ P(-3 \leq X \leq 0.5) = \int{-1}^{0.5} \frac{1}{2} \, dx \] Теперь вычислим этот интеграл: \[ \int_{-1}^{0.5} \frac{1}{2} \, dx = \frac{1}{2} \cdot (0.5 - (-1)) = \frac{1}{2} \cdot (0.5 + 1) = \frac{1}{2} \cdot 1.5 = \frac{3}{4} \] Таким образом, вероятность \( P(-3 \leq X \leq 0.5) = \frac{3}{4} \). Математическое ожидание \( E(X) \) вычисляется по формуле: \[ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx \] В нашем случае: \[ E(X) = \int_{-1}^{1} x \cdot \frac{1}{2} \, dx \] Вычислим этот интеграл: \[ E(X) = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} x \, dx \] Интеграл \( \int_{-1}^{1} x \, dx \) равен 0, так как функция \( x \) симметрична относительно оси \( y \): \[ \int_{-1}^{1} x \, dx = 0 \] Следовательно: \[ E(X) = \frac{1}{2} \cdot 0 = 0 \] а) Константа \( k = \frac{1}{4} \) б) Вероятность \( P(-3 \leq X \leq 0.5) = \frac{3}{4} \) в) Математическое ожидание \( E(X) = 0 \)