Для системы биполярных координат ( ), связанных с декартовыми прямоугольными ( ) соотношениями: найти: 1) базисные векторы (ортогональные ли они)? 2) ковариантные компоненты метрического тензора 3) ковариантные и контравариантные компоненты ортов и

Условие:

Для системы биполярных координат ( $q^{1}, q^{2}$ ), связанных с декартовыми прямоугольными ( $x_{1}, x_{2}$ ) соотношениями:

x_{1}=\frac{a \sinh q^{1}}{\cosh q^{1}+\cos q^{2}}, x_{2}=\frac{a \sin q^{2}}{\cosh q^{1}+\cos q^{2}}, a=\mathrm{const}

найти: 1) базисные векторы

\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}

(ортогональные ли они)? 2) ковариантные компоненты метрического тензора

\mathrm{g}_{\mathrm{ik}}

3) ковариантные и контравариантные компоненты ортов

\mathbf{i}_{1}

\mathbf{i}_{2}

Система координат $(q^1, q^2)$ связана с декартовыми $(x_1, x_2)$ соотношениями (где $a = \text{const}$ ):

x_1 = \frac{a \sinh q^1}{\cosh q^1 + \cos q^2}, \quad x_2 = \frac{a \sin q^2}{\cosh q^1 + \cos q^2}

Базисные векторы $\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2$ и проверить их ортогональность.
Ковариантные компоненты метрического тензора $g_{ik}$ .
Ковариантные и контравариантные компоненты ортов $\mathbf{i}_1$ и $\mathbf{i}_2$ . (Предполагается, что $\mathbf{i}_k$ — это базисные векторы в декартовой системе, т.е. $\mathbf{i}_k = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x_k}$ , но...