Докажите, что для любого натурального нельзя покрасить все простые числа в цветов так, чтобы любое натуральное число можно было представить в виде суммы нескольких (более одного) различных простых чисел одного цвета не более чем одним способом.

Дано

• Множество всех простых чисел $P = \{p_1, p_2, p_3, \dots\}$.
• Множество цветов $C = \{1, 2, \dots, k\}$.
• Существует разбиение $P = P_1 \cup P_2 \cup \dots \cup P_k$, где $P_i$ — множество простых чисел цвета $i$.
• Для каждого цвета $i$ любое натуральное число $n > 1$ представляется в виде суммы различных элементов из $P_i$ не более чем одним способом.

Найти

Доказать, что такое разбиение невозможно для любого натурального $k$.

Решение

Шаг 1: Формализация условия через производящие функции Пусть для каждого цвета $i \in \{1, \dots, k\}$ определена функция $f_i(x)$,...