Докажите, что подпространство тогда и только тогда совпадает с когда . Верно ли это если пространство бесконечномерно? — задача №560620

Добавлена: 13.05.2026
Обновлена: 13.05.2026
Предмет: Теория вероятностей
Автор: Кэмп

#Теория вероятностей и математическая статистика
#Теория случайных величин

Докажите, что подпространство тогда и только тогда совпадает с когда . Верно ли это если пространство бесконечномерно? — задача №560620

Условие:

Докажите, что подпространство $U \subset V$ тогда и только тогда совпадает с $V$ когда ${ }^{\perp} U=0$ . Верно ли это если пространство $V$ бесконечномерно?

Решение:

Чтобы доказать, что подпространство $U \subset V$ совпадает с $V$ тогда и только тогда, когда $U^{\perp} = 0$ , начнем с определения.

Определение ортогонального дополнения: Подпространство $U^{\perp}$ состоит из всех векторов $v \in V$ , таких что $\langle u, v \rangle = 0$ для всех $u \in U$ , где $\langle \cdot, \cdot \rangle$ - скалярное произведение в пространстве $V$ .
Необходимость: Предположим, что $U = V$ . Тогда для любого вектора $v \in V$ существует $u \in U$ такой, что $v = u$ ...