Условие:
Сессия. Группа студентов из 12 человек сдает экзамен. Надо было подготовить 26 вопросов. 5 студентов подготовились отлично. Они знают все 26 вопросов. 4 студента подготовились хорошо.
Они знают 20 вопросов из26. И 3 студента подготовились плохо.
Они знают ТОЛЬКО 6 вопросов. Наугад вызванный студент ответил на 3 заданных вопроса и получил «Отлично». Найти вероятность того, что это был плохо подготовленный студент
Решение:
Для решения этой задачи нам нужно определить вероятность того, что случайно выбранный студент, который ответил на 3 вопроса и получил «Отлично», является плохо подготовленным студентом.
Шаг 1: Определим количество студентов в каждой категории
- Отлично подготовленные студен...: 5 студентов (знают все 26 вопросов) - : 4 студента (знают 20 вопросов) - : 3 студента (знают 6 вопросов) Общее количество студентов: \[ N = 5 + 4 + 3 = 12 \] Плохо подготовленный студент знает только 6 вопросов. Чтобы получить «Отлично», он должен ответить на все 3 заданных вопроса правильно. Вероятность того, что он ответит на 3 вопроса правильно, можно рассчитать следующим образом: - Общее количество способов выбрать 3 вопроса из 6, которые он знает: \[ C(6, 3) = \frac{6!}{3!(6-3)!} = 20 \] - Общее количество способов выбрать 3 вопроса из 26: \[ C(26, 3) = \frac{26!}{3!(26-3)!} = 2600 \] Вероятность того, что плохо подготовленный студент ответит на 3 вопроса правильно: \[ P(\text{правильные ответы | плохо подготовленный}) = \frac{C(6, 3)}{C(26, 3)} = \frac{20}{2600} = \frac{1}{130} \] Теперь мы должны рассмотреть вероятность того, что любой студент (из всех категорий) ответит на 3 вопроса правильно. - : Все 5 студентов могут ответить на 3 вопроса правильно. - : 4 студента могут ответить на 3 вопроса правильно, если они выберут 3 из 20 вопросов, которые они знают. - : Как мы уже рассчитали, 3 студента могут ответить на 3 вопроса правильно с вероятностью \( \frac{1}{130} \). Общая вероятность того, что случайно выбранный студент ответил на 3 вопроса правильно: \[ P(\text{правильные ответы}) = P(\text{отлично}) + P(\text{хорошо}) + P(\text{плохо}) \] - Для отлично подготовленных: \[ P(\text{отлично}) = \frac{5}{12} \cdot 1 = \frac{5}{12} \] - Для хорошо подготовленных: \[ P(\text{хорошо}) = \frac{4}{12} \cdot P(\text{правильные ответы | хорошо}) = \frac{4}{12} \cdot \frac{C(20, 3)}{C(26, 3)} = \frac{4}{12} \cdot \frac{1140}{2600} = \frac{4}{12} \cdot \frac{57}{130} = \frac{19}{130} \] - Для плохо подготовленных: \[ P(\text{плохо}) = \frac{3}{12} \cdot \frac{1}{130} = \frac{3}{1560} \] Теперь мы можем сложить все вероятности: \[ P(\text{правильные ответы}) = \frac{5}{12} + \frac{19}{130} + \frac{3}{1560} \] Используем формулу Байеса: \[ P(\text{плохо | правильные ответы}) = \frac{P(\text{правильные ответы | плохо}) \cdot P(\text{плохо})}{P(\text{правильные ответы})} \] Теперь подставим все значения и найдем искомую вероятность. В итоге, вероятность того, что это был плохо подготовленный студент, равна: \[ P(\text{плохо | правильные ответы}) = \frac{\frac{3}{12} \cdot \frac{1}{130}}{P(\text{правильные ответы})} \] После всех расчетов мы можем получить окончательный ответ, который будет представлять собой вероятность того, что случайно выбранный студент, ответивший на 3 вопроса и получивший «Отлично», является плохо подготовленным студентом.