Условие:
из урны содержащей 2 белых и 2 чёрных шара 2 раза извлекается шар определить математическое ожидание и дисперсию числа извлечённых шаров чёрного цвета при условии что вынутый шар в урну не возвращается
Решение:
Для решения задачи о математическом ожидании и дисперсии числа извлечённых чёрных шаров из ...
При извлечении двух шаров из урны, не возвращая их обратно, возможны следующие исходы: 1. Чёрный, Чёрный (CC) 2. Чёрный, Белый (CB) 3. Белый, Чёрный (BC) 4. Белый, Белый (BB) Теперь определим вероятности каждого из этих исходов: 1. Вероятность извлечения двух чёрных шаров (CC): - Вероятность первого чёрного: \( \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \) - Вероятность второго чёрного: \( \frac{1}{3} \) - Общая вероятность: \( P(CC) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \) 2. Вероятность извлечения чёрного и белого шара (CB): - Вероятность первого чёрного: \( \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \) - Вероятность второго белого: \( \frac{2}{3} \) - Общая вероятность: \( P(CB) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \) 3. Вероятность извлечения белого и чёрного шара (BC): - Вероятность первого белого: \( \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \) - Вероятность второго чёрного: \( \frac{2}{3} \) - Общая вероятность: \( P(BC) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \) 4. Вероятность извлечения двух белых шаров (BB): - Вероятность первого белого: \( \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \) - Вероятность второго белого: \( \frac{1}{3} \) - Общая вероятность: \( P(BB) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \) Теперь определим математическое ожидание числа извлечённых чёрных шаров. Обозначим количество чёрных шаров в каждом исходе: - CC: 2 чёрных шара - CB: 1 чёрный шар - BC: 1 чёрный шар - BB: 0 чёрных шаров Теперь вычислим математическое ожидание \( E(X) \): \[ E(X) = 2 \cdot P(CC) + 1 \cdot P(CB) + 1 \cdot P(BC) + 0 \cdot P(BB) \] Подставим вероятности: \[ E(X) = 2 \cdot \frac{1}{6} + 1 \cdot \frac{1}{3} + 1 \cdot \frac{1}{3} + 0 \cdot \frac{1}{6} \] \[ E(X) = \frac{2}{6} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{6} + \frac{2}{6} + \frac{2}{6} = \frac{6}{6} = 1 \] Теперь найдем дисперсию \( D(X) \). Для этого сначала найдем \( E(X^2) \): - Для исхода CC: \( 2^2 = 4 \) - Для исхода CB: \( 1^2 = 1 \) - Для исхода BC: \( 1^2 = 1 \) - Для исхода BB: \( 0^2 = 0 \) Теперь вычислим \( E(X^2) \): \[ E(X^2) = 4 \cdot P(CC) + 1 \cdot P(CB) + 1 \cdot P(BC) + 0 \cdot P(BB) \] Подставим вероятности: \[ E(X^2) = 4 \cdot \frac{1}{6} + 1 \cdot \frac{1}{3} + 1 \cdot \frac{1}{3} + 0 \cdot \frac{1}{6} \] \[ E(X^2) = \frac{4}{6} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{4}{6} + \frac{2}{6} + \frac{2}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \] Теперь можем найти дисперсию: \[ D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \] \[ D(X) = \frac{4}{3} - (1)^2 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{4}{3} - \frac{3}{3} = \frac{1}{3} \] Таким образом, математическое ожидание числа извлечённых чёрных шаров равно \( 1 \), а дисперсия равна \( \frac{1}{3} \).