Из урны, содержащей 8 белых и 3 чёрных шара, наугад без возвращения выбирают три шара. Третий шар оказался белым. Какова вероятность того, что первые два шара тоже были белыми? Какова вероятность того, что первые два шара были разного цвета?

Для решения задачи о вероятности, давайте сначала обозначим события: - \( A \): первые два шара белые. - \( B \): первые два шара разного цвета. ...

В урне 8 белых и 3 черных шара, всего 11 шаров. Общее количество способов выбрать 3 шара из 11: \[ C(11, 3) = \frac{11!}{3!(11-3)!} = \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1} = 165 \] Теперь найдем количество способов выбрать 3 шара так, чтобы третий шар был белым. Это может произойти в следующих случаях: 1. Все три шара белые. 2. Два белых шара и один черный. Количество способов выбрать 3 белых шара из 8: \[ C(8, 3) = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56 \] Количество способов выбрать 2 белых шара из 8 и 1 черный шар из 3: \[ C(8, 2) \times C(3, 1) = \frac{8!}{2!(8-2)!} \times \frac{3!}{1!(3-1)!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} \times 3 = 28 \times 3 = 84 \] Общее количество способов выбрать 3 шара так, чтобы третий шар был белым: \[ 56 + 84 = 140 \] Теперь найдем количество способов, чтобы первые два шара были белыми и третий шар белый. Это соответствует случаю, когда все три шара белые: \[ P(A | C) = \frac{P(A \cap C)}{P(C)} = \frac{C(8, 3)}{C(11, 3)} = \frac{56}{140} = \frac{2}{5} \] Теперь найдем количество способов, чтобы первые два шара были разного цвета и третий шар белый. Это может произойти, если первый шар белый, второй черный, а третий белый. Количество способов выбрать 1 белый и 1 черный: \[ C(8, 1) \times C(3, 1) = 8 \times 3 = 24 \] Теперь, так как третий шар белый, мы можем выбрать его из оставшихся 7 белых шаров: \[ P(B | C) = \frac{P(B \cap C)}{P(C)} = \frac{24}{140} = \frac{12}{70} = \frac{6}{35} \] 1. Вероятность того, что первые два шара тоже были белыми: \( \frac{2}{5} \). 2. Вероятность того, что первые два шара были разного цвета: \( \frac{6}{35} \).