Множество A — это множество точек в [0, 1], 10-значное представление которых Последовательность 2 0 2 5 встречается конечное число раз (включая (в случае отказа от встреч на публике). Например, в числе 0,012025314 встречается 2 0 2 5. один раз. Используя

Чтобы доказать, что множество \( A \) имеет размерность 0, воспользуемся второй леммой Бореля-Кантелли. Для этого нам нужно показать, что вероятность того, что последовате...

Рассмотрим 10-значное представление числа в интервале \([0, 1]\). Каждая цифра в этом представлении может принимать значения от 0 до 9. Таким образом, общее количество 10-значных чисел в интервале \([0, 1]\) равно \( 10^{10} \). Теперь определим, сколько 10-значных чисел содержат последовательность \( 2025 \). Последовательность \( 2025 \) может начинаться в позициях 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, и 9 (всего 9 позиций, так как последовательность занимает 4 цифры). - Если последовательность начинается на позиции 1, то оставшиеся 6 цифр могут быть любыми (от 0 до 9), что дает \( 10^6 \) вариантов. - Если последовательность начинается на позиции 2, то первая цифра может быть любой, а оставшиеся 5 цифр могут быть любыми, что также дает \( 10^6 \) вариантов. - Аналогично, для каждой из позиций от 1 до 6, мы получаем \( 10^6 \) вариантов. - Для позиций 7, 8 и 9 также будет \( 10^6 \) вариантов. Таким образом, общее количество 10-значных чисел, содержащих последовательность \( 2025 \), равно \( 9 \cdot 10^6 \). Вероятность того, что случайное 10-значное число содержит последовательность \( 2025 \), равна: \[ P = \frac{9 \cdot 10^6}{10^{10}} = \frac{9}{10^4} = 0.0009 \] Теперь мы можем применить вторую лемму Бореля-Кантелли. Пусть \( X_n \) — это событие, что в \( n \)-ом 10-значном числе встречается последовательность \( 2025 \). Мы знаем, что: \[ P(X_n) = 0.0009 \] Сумма вероятностей: \[ \sumn) = \sum_{n=1}^{\infty} 0.0009 = \infty \] Однако, поскольку \( P(Xn \) независимы, по второй лемме Бореля-Кантелли, вероятность того, что последовательность \( 2025 \) встречается бесконечное число раз, равна 0. Таким образом, множество \( A \), состоящее из точек, в 10-значных представлениях которых последовательность \( 2025 \) встречается конечное число раз, имеет размерность 0. Это завершает доказательство.