На плоскости отметили вершины неравнобедренного прямоугольного треугольника АВС, центр его описанной окружности О, центр вписанной окружности I и центры вневписанных окружностей Ia, Id, Ic. Наудачу выбираются три точки из отмеченных восьми. Какова

6 ноября 2025
Теория вероятностей

Условие:

На плоскости отметили вершины неравнобедренного прямоугольного треугольника АВС, центр его описанной окружности О , центр вписанной окружности I и центры вневписанных окружностей Ia, Id? Ic. Наудачу выбираются три точки из отмеченных восьми. Какова вероятность, что эти три точки лежат на одной прямой?

Решение:

Рассмотрим задачу пошагово. 1. Всего на плоскости отмечено 8 точек. Это: 3 вершины треугольника (обозначим их A, B, C), центр описанной окружности O, центр вписанной окружности I и 3 центра вневписанных (эксцентрических) окружностей – обозначим их Iₐ, Iᵦ и I꜀. 2. Всего способов выбрать 3 точки из 8 равно количеству сочетаний из 8 по 3, то есть C(8, 3) = 56. 3. Теперь необходимо найти все такие тройки отмеченных точек, которые лежат на одной прямой. При анализе геометрических свойств треугольника и его центров можно установить очевидные факты. 4. Для любого тре...