На расстоянии от центра планеты запускают два спутника одинаковой массы в перпендикулярном направлении радиуса вектора от центра планеты и также относительно друг друга. Первый спутник движется по кругу, а второй по эллипсу, большая полуось которого в раз

Добавлена: 28.04.2026
Обновлена: 28.04.2026
Предмет: Теория вероятностей
Автор: Кэмп

#Теория вероятностей и математическая статистика
#Теория случайных величин

На расстоянии от центра планеты запускают два спутника одинаковой массы в перпендикулярном направлении радиуса вектора от центра планеты и также относительно друг друга. Первый спутник движется по кругу, а второй по эллипсу, большая полуось которого в раз

Условие:

На расстоянии $a_{0}$ от центра планеты запускают два спутника одинаковой массы в перпендикулярном направлении радиуса вектора от центра планеты и также относительно друг друга. Первый спутник движется по кругу, а второй по эллипсу, большая полуось которого в $\eta=(3 / 2)^{2 / 3}$ раз больше чем радиус первого. Через определенное время $\tau=\gamma T_{0}$ , где $T_{0}$ период первого спутника, спутники абсолютно неупруго сталкиваются в изначальной точке.

Найдите численное значение $\gamma$ .
Найдите во сколько раз скорость спутников после столкновения больше изначальной скорости первого спутника, то есть укажите величину $\kappa$ , которая определяется следующим образом: $v^{\prime}=\kappa v_{0}$ .
На какое максимальное расстояние удалится спутник после столкновения от центра планеты? В виде ответа укажите величину $\alpha$ , которая показывает насколько раз данное расстояние $l$ больше $a_{0}\left(l=\alpha a_{0}\right)$ . Если ответ бесконечность, то укажите в виде ответа знак минус, «-».

Решение:

1. Исходные данные

Два спутника одинаковой массы $m$ .
Запускаются из точки на расстоянии $a_0$ от центра планеты.
Первый спутник движется по круговой орбите радиуса $a_0$ .
Второй спутник движется по эллипсу, большая полуось которого $a$ связана с $a_0$ соотношением:

a = \eta a_0, \quad \eta = \left( \frac{3}{2} \right)^{2/3}.

Через время $\tau = \gamma T_0$ они сталкиваются абсолютно неупруго в исходной точке.
$T_0$ — период первого спутника.

1.1 Период движения спутников

По третьему закону Кеплера:

\frac{T^2}{a^3} = \text{const}.

Для первого спутника: $a_1 = a_0$ , период $T_0$ .

Для второго спутника: $a_2 = a = \eta a_0$ , период $T_2$ :

\frac{T_2}{T_0} = \left( \frac{a_2}{a_0} \right)^{3/2} = \eta^{3/2}.

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое условие должно быть выполнено для того, чтобы два спутника, движущиеся по разным орбитам вокруг одной планеты, столкнулись в одной и той же точке, из которой они были запущены?

Их периоды обращения должны быть равны.

Отношение времени столкновения к периоду первого спутника должно быть целым числом, а отношение времени столкновения к половине периода второго спутника также должно быть целым числом.

Их скорости в точке запуска должны быть одинаковыми.