Условие:
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины x , если ее плотность вероятностей f(x)= 2/π 〖cos〗^2 x на интервале ( - π/2,π/2) и равная нулю при |х|≥ π/2 .
Решение:
Рассмотрим плотность вероятности случайной величины x: f(x) = (2/π)·cos²x при x ∈ (–π/2, π/2) и f(x) = 0 при |x| ≥ π/2.
- Определим математическое ожидание M[x]: M[x] = ∫₋π/2^(π/2) x·f(x) dx.
Заметим, что cos²x – чётная функция, а x – нечётная. При умножении получается нечётная функция, интеграл от которой на симметричном интервале равен нулю. Таким образом, M[x] = 0.
- Рассчитаем дисперсию D[x]: D[x] = E[x²] – (M[x])² = E[x²] = ∫₋π/2^(π/2) x²·f(x) dx.
Поскольку x² и cos²x – чётные функции, можно записать: E[x²] = 2·∫₀^(π/2) x²·(2/π)·cos²x dx = (4/π)·∫₀^(π/2) x²·cos²x dx.
...