Условие:
Написаны n писем, предназначенных разным адресатам. Имеется n конвертов с соответствующими адресами. Письма в случайном порядке вложены в конверты. Найти среднее значение и дисперсию числа писем, посланных по правильному адресу.
Решение:
Рассмотрим задачу:
-
Обозначим через X число писем, посланных по правильному адресу.
-
Для каждого писма i (от 1 до n) введем индикаторную случайную величину: I₍ᵢ₎ = { 1, если i-е письмо попало в i-й конверт, 0, иначе }.
Тогда X = I₍₁₎ + I₍₂₎ + … + I₍ₙ₎.
Шаг 1. Находим математическое ожидание E(X):
E(X) = E(I₍₁₎) + E(I₍₂₎) + … + E(I₍ₙ₎).
Для каждого i вероятность того, что i-е письмо окажется в i-м конверте равна 1/n, так как все вложения равновероятны. Следовательно: E(I₍ᵢ₎) = 1·(1/n) + 0·(1 - 1/n) = 1/n.
Таким образом, E(X) = n · (1/n) = 1.
Шаг 2. Находим дисперсию V...