Непрерывная случайная величина в интервале задана плотностью распределения ; вне этого интервала . Найти вероятность того, что примет значение, принадлежащее интервалу . Плотность распределения непрерывной случайной величины в интервале равна ; вне этого

Добавлена: 28.04.2026
Обновлена: 28.04.2026
Предмет: Теория вероятностей
Автор: Кэмп

#Теория вероятностей и математическая статистика
#Теория случайных величин

Непрерывная случайная величина в интервале задана плотностью распределения ; вне этого интервала . Найти вероятность того, что примет значение, принадлежащее интервалу . Плотность распределения непрерывной случайной величины в интервале равна ; вне этого

Условие:

Непрерывная случайная величина $X$ в интервале $(0, \infty)$ задана плотностью распределения $f(x)=\alpha \mathrm{e}^{-\alpha x}(\alpha>0)$ ; вне этого интервала $f(x)=0$ . Найти вероятность того, что $X$ примет значение, принадлежащее интервалу $(1,2)$ . Плотность распределения непрерывной случайной величины $X$ в интервале $(-\pi / 2, \pi / 2)$ равна $f(x)=(2/\pi)\cos^2x$ ; вне этого интервала $f(x)=0$ . Найти вероятность того, что в трех независимых испытаниях $X$ примет ровно два раза значение, заключенное в интервале $(0, \pi / 4)$ .

Решение:

Рассмотрим сначала задачу 265.

Дана плотность распределения X на интервале (0, ∞): f(x) = α·e^(–αx), где α > 0, вне интервала f(x) = 0.
Нам надо найти вероятность события {1 < X < 2}. Для этого вычислим интеграл:
P(1 < X < 2) = ∫ от 1 до 2 α·e^(–αx) dx.
Найдём первообразную функции α·e^(–αx). Поскольку производная e^(–αx) равна –α·e^(–αx), интеграл примет вид:
∫ α·e^(–αx) dx = –e^(–αx) + C.
Подставляем границы интегрирования:
P(1 < X < 2) = [–e^(–αx)] от x = 1 до x = 2 = (–e^(–2α)) – (–e^(–α)) = e^(–α) –...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое свойство плотности распределения вероятности $f(x)$ используется для нахождения вероятности того, что случайная величина $X$ примет значение в заданном интервале $(a, b)$?

Вероятность равна значению (f(x)) в середине интервала.

Вероятность равна интегралу от (f(x)) по заданному интервалу.

Вероятность равна производной от (f(x)) в точке (b).