Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения . Найти плотность вероятности и вероятность попадания X в интервал ( ); математическое ожидание и дисперсию . Построить графики функций и .

Добавлена: 28.04.2026
Обновлена: 28.04.2026
Предмет: Теория вероятностей
Автор: Кэмп

#Теория вероятностей и математическая статистика
#Теория случайных величин

Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения . Найти плотность вероятности и вероятность попадания X в интервал ( ); математическое ожидание и дисперсию . Построить графики функций и .

Условие:

Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения $\mathrm{F}(\mathrm{x})$ . Найти плотность вероятности $f(x)$ и вероятность попадания X в интервал ( $\alpha ; \beta$ ); математическое ожидание $\mathrm{M}(\mathrm{X})$ и дисперсию $\mathrm{D}(\mathrm{X})$ . Построить графики функций $\mathrm{F}(\mathrm{x})$ и $f(x)$ . $ F(x)=\left{

\begin{array}{ll} 0, & x \leq 0 \\ \frac{x^{3}}{27}, & 0<x \leq 3 ; \\ 1, & x>3 \end{array}

Решение:

1. Найдём плотность вероятности f(x).

Плотность вероятности — это производная функции распределения.

Для $x \leq 0$ : $F(x) = 0$ ⇒ $f(x) = 0$
Для $x > 3$ : $F(x) = 1$ ⇒ $f(x) = 0$
Для $0 < x \leq 3$ : $F(x) = \frac{x^3}{27}$ ⇒ $f(x) = F'(x) = \frac{3x^2}{27} = \frac{x^2}{9}$