1. Главная
  2. Библиотека
  3. Теория вероятностей
  4. Независимые случайные дискретные величины заданы X и Y...
Решение задачи на тему

Независимые случайные дискретные величины заданы X и Y заданы законами распределения. xi 1 0 2 3 yj 2 1 0 1 pi 0,3 0,4 0,2 0,1 pj 0,1 0,1 0,5 0,3 Найти математическое ожидание M X 3Y 5 и дисперсию DX 3Y 5.

  • Теория вероятностей
  • #Теория вероятностей и математическая статистика
  • #Теория случайных величин
Независимые случайные дискретные величины заданы X и Y заданы законами распределения. xi 1 0 2 3 yj 2 1 0 1 pi 0,3 0,4 0,2 0,1 pj 0,1 0,1 0,5 0,3 Найти математическое ожидание M X 3Y 5 и дисперсию DX 3Y 5.

Условие:

Независимые случайные дискретные величины заданы X и Y заданы законами распределения.
xi 1 0 2 3 yj 2 1 0 1 pi 0,3 0,4 0,2 0,1 pj 0,1 0,1 0,5 0,3
Найти математическое ожидание M X 3Y 5 и дисперсию DX 3Y 5.

Решение:

Для нахождения математического ожидания $M(X - 3Y + 5)$ и дисперсии $D(X - 3Y + 5)$ начнем с нахождения математических ожиданий и дисперсий случайных...

Математическое ожидание M(X)M(X) вычисляется по формуле:

M(X)=\sumi⋅pi M(X) = \sumi \cdot p_i
где xixi — соответствующие вероятности.

Подставим значения:

M(X)=(−1)⋅0.3+0⋅0.4+2⋅0.2+3⋅0.1 M(X) = (-1) \cdot 0.3 + 0 \cdot 0.4 + 2 \cdot 0.2 + 3 \cdot 0.1
M(X)=−0.3+0+0.4+0.3=0.4 M(X) = -0.3 + 0 + 0.4 + 0.3 = 0.4

Дисперсия D(X)D(X) вычисляется по формуле:

D(X)=M(X2)−(M(X))2 D(X) = M(X^2) - (M(X))^2
Сначала найдем M(X2)M(X^2):
M(X2)=\sumi2⋅pi M(X^2) = \sumi^2 \cdot p_i
Подставим значения:
M(X2)=(−1)2⋅0.3+02⋅0.4+22⋅0.2+32⋅0.1 M(X^2) = (-1)^2 \cdot 0.3 + 0^2 \cdot 0.4 + 2^2 \cdot 0.2 + 3^2 \cdot 0.1
M(X2)=0.3+0+0.8+0.9=2.0 M(X^2) = 0.3 + 0 + 0.8 + 0.9 = 2.0
Теперь подставим в формулу для дисперсии:
D(X)=2.0−(0.4)2=2.0−0.16=1.84 D(X) = 2.0 - (0.4)^2 = 2.0 - 0.16 = 1.84

Аналогично, для YY:

M(Y)=\sumj⋅pj M(Y) = \sumj \cdot p_j
Подставим значения:
M(Y)=(−2)⋅0.1+(−1)⋅0.1+0⋅0.5+1⋅0.3 M(Y) = (-2) \cdot 0.1 + (-1) \cdot 0.1 + 0 \cdot 0.5 + 1 \cdot 0.3
M(Y)=−0.2−0.1+0+0.3=0 M(Y) = -0.2 - 0.1 + 0 + 0.3 = 0

Сначала найдем M(Y2)M(Y^2):

M(Y2)=\sumj2⋅pj M(Y^2) = \sumj^2 \cdot p_j
Подставим значения:
M(Y2)=(−2)2⋅0.1+(−1)2⋅0.1+02⋅0.5+12⋅0.3 M(Y^2) = (-2)^2 \cdot 0.1 + (-1)^2 \cdot 0.1 + 0^2 \cdot 0.5 + 1^2 \cdot 0.3
M(Y2)=0.4+0.1+0+0.3=0.8 M(Y^2) = 0.4 + 0.1 + 0 + 0.3 = 0.8
Теперь подставим в формулу для дисперсии:
D(Y)=M(Y2)−(M(Y))2=0.8−02=0.8 D(Y) = M(Y^2) - (M(Y))^2 = 0.8 - 0^2 = 0.8

Используем линейность математического ожидания:

M(X−3Y+5)=M(X)−3M(Y)+5 M(X - 3Y + 5) = M(X) - 3M(Y) + 5
Подставим найденные значения:
M(X−3Y+5)=0.4−3⋅0+5=0.4+5=5.4 M(X - 3Y + 5) = 0.4 - 3 \cdot 0 + 5 = 0.4 + 5 = 5.4

Дисперсия суммы независимых случайных величин:

D(X−3Y+5)=D(X)+D(−3Y)=D(X)+9D(Y) D(X - 3Y + 5) = D(X) + D(-3Y) = D(X) + 9D(Y)
Подставим значения:
D(X−3Y+5)=1.84+9⋅0.8=1.84+7.2=9.04 D(X - 3Y + 5) = 1.84 + 9 \cdot 0.8 = 1.84 + 7.2 = 9.04

Таким образом, мы получили:

M(X−3Y+5)=5.4 M(X - 3Y + 5) = 5.4
D(X−3Y+5)=9.04 D(X - 3Y + 5) = 9.04

Похожие задачи

Не нашел нужную задачу?Воспользуйся поиском

AI помощники

Выбери предмет

E
S
А
Б
В
Г
Д
Е
Ж
З
И
К
Л
М
Н
О
П
Р
С
Т
У
Ф
Х
Ц
Ч
Э
Я