Новогодняя гирлянда состоит из 326 светодиодов. Вероятность того, что один светодиод перегорит, равна 1/4. Найдите вероятность того, что в новогодней гирлянде будут работать: а) ровно 240 светодиодов; б) от 200 до 220 светодиодов; в) не менее 240

Для решения этой задачи мы будем использовать биномиальное распределение, так как у нас есть фиксированное количество испытаний (326 светодиодов), два возможных исхода (светодиод работает или перегорел), и извес...

Используем формулу биномиального распределения:

$$P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k}$$

где $C(n, k)$ — биномиальный коэффициент, который вычисляется как:

$$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Подставим значения:

$$P(X = 240) = C(326, 240) \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{240} \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{86}$$

Теперь вычислим биномиальный коэффициент $C(326, 240)$:

$$C(326, 240) = \frac{326!}{240! \cdot 86!}$$

Это значение можно вычислить с помощью программного обеспечения или калькулятора, так как оно довольно велико.

После нахождения $C(326, 240)$, подставим его в формулу и вычислим вероятность.

Для этого нужно найти сумму вероятностей от 200 до 220:

$$P(200 \leq X \leq 220) = \sum_{k=200}^{220} P(X = k)$$

Каждую из вероятностей $P(X = k)$ можно вычислить по той же формуле, что и в пункте а).

Это можно выразить как:

$$P(X \geq 240) = 1 - P(X 240) = 1 - P(X \leq 239)$$

Для этого нужно вычислить сумму вероятностей от 0 до 239:

$$P(X \leq 239) = \sum_{k=0}^{239} P(X = k)$$

Для точного вычисления всех этих вероятностей потребуется использовать программное обеспечение для статистических расчетов или калькулятор, так как значения биномиальных коэффициентов и вероятностей могут быть очень большими.

Если у вас есть доступ к программному обеспечению, например, Python с библиотекой SciPy, вы можете использовать функцию для вычисления вероятностей.