Определить для подгруппы группы : ) элементы из ; б) левые смежные классы группы по ; в) правые смежные классы группы по ; г) является ли нормальной подгруппой?

1. Дано

Группа $S_4$ — симметрическая группа степени $4$, состоящая из всех перестановок множества $\{1, 2, 3, 4\}$. Порядок группы $|S_4| = 4! = 24$. Подгруппа $H = \langle (12), (34) \rangle$ порождена двумя транспозициями.

2. Решение

а) Элементы из $H$

Подгруппа $H$ порождена элементами $a = (12)$ и $b = (34)$. Так как эти перестановки независимы (действуют на разных элементах), они коммутируют: $ab = ba$. Элементы $H$ получаются путем всех возможных комбинаций этих генераторов:

1. Нейтральный элемент: $e$
2. Генераторы: $(12)$, $(34)$
3. Произведение: $(12)(34) = (12)(34)$...