Плотность распределения f(х) случайной величины Х на (а, b) задана в таблице, а при х e (a, b) f/х) = 0. Требуется: 1) найти параметр A; 2) построить графики плотности и фрункции распределения; 3) найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и

Для решения задачи, давайте пройдемся по каждому пункту по порядку.

1) Найти параметр A

Плотность распределения $f(x) = Ax^2$ задана на интервале $(0, 1)$. Чтобы найти параметр $A$, мы используем условие, что интеграл плотности распределения по всему интервалу должен равняться 1:

$
\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 1
$

Подставим $f(x)$:

$
\int_{0}^{1} Ax^2 \, dx = 1
$

Вычислим интеграл:

$
A \int{0}^{1} x^2 \, dx = A \left[ \frac{x^3}{3} \right]{0}^{1} = A \cdot \frac{1}{3}
$

Теперь у нас есть уравнение:

$
A \cdot \frac{1}{3} = 1
$

Отсюда:

$
A = 3
$

2) Построить графики плотности и функции распределения

Теперь, когда мы знаем, что $A = 3$, можем записать плотность распределения:

$
f(x) = 3x^2 \quad \text{для } x \in (0, 1)
$

Теперь найдем функцию распределения $F(x)$:

$
F(x) = \int{0}^{x} f(t) \,...{0}^{x} 3t^2 \, dt = 3 \left[ \frac{t^3}{3} \right]_{0}^{x} = x^3 \quad \text{для } x \in (0, 1) $

График плотности $f(x)$ будет параболой, открытой вверх, а график функции распределения $F(x)$ будет кубической функцией.

$$M(X) = \int{0}^{1} x (3x^2) \, dx = 3 \int{0}^{1} = 3 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$

Сначала найдем $M(X^2)$:

$$M(X^2) = \int{0}^{1} x^2 (3x^2) \, dx = 3 \int{0}^{1} = 3 \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$$

Теперь можем найти дисперсию:

$$D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = \frac{3}{5} - \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{3}{5} - \frac{9}{16}$$

Чтобы вычесть дроби, найдем общий знаменатель:

$$\frac{3}{5} = \frac{48}{80}, \quad \frac{9}{16} = \frac{45}{80}$$

Теперь вычтем:

$$D(X) = \frac{48}{80} - \frac{45}{80} = \frac{3}{80}$$

$$\sigma = \sqrt{D(X)} = \sqrt{\frac{3}{80}} = \frac{\sqrt{3}}{4\sqrt{5}} \approx 0.193$$

Задано $e = \frac{1}{2}$. Мы ищем вероятность:

$$P(|X - M(X)| \leq e) = P\left(\frac{3}{4} - \frac{1}{2} \leq X \leq \frac{3}{4} + \frac{1}{2}\right)$$

Это означает:

$$P\left(\frac{1}{4} \leq X \leq 1\right)$$

Теперь найдем $F(1) - F\left(\frac{1}{4}\right)$:

$$F(1) = 1, \quad F\left(\frac{1}{4}\right) = \left(\frac{1}{4}\right)^3 = \frac{1}{64}$$

Таким образом:

$$P\left(\frac{1}{4} \leq X \leq 1\right) = 1 - \frac{1}{64} = \frac{63}{64}$$

1. $A = 3$
2. Графики построены (плотность $f(x) = 3x^2$, функция распределения $F(x) = x^3$).
3. $M(X) = \frac{3}{4}$, $D(X) = \frac{3}{80}$, $\sigma \approx 0.193$
4. $P\left(|X - M(X)| \leq \frac{1}{2}\right) = \frac{63}{64}$