Плотность распределения случайной величины ξ равна 𝑓ξ(𝑥) = { 𝑎𝑥(4 − 𝑥), 𝑥 ∈ [0; 4]; 0, 𝑥 ∉ [0; 4]. Найдите значение параметра 𝑎, функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины ξ, вероятность события |ξ − Mξ| < σ.

6 ноября 2025
Теория вероятностей

Условие:

Плотность распределения случайной величины ξ равна

𝑓
𝜉
(
𝑥
)
=
{
𝑎
𝑥
(
4
−
𝑥
)
,
𝑥
∈
[
0
;
4
]
;
0
,
𝑥
∉
[
0
;
4
]
.
f
ξ

(x)={
ax(4−x),
0,

x∈[0;4];
x∈
/
[0;4].

Найдите значение параметра
𝑎
a, функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины
𝜉
ξ, вероятность события
∣
𝜉
−
𝑀
𝜉
∣
<
𝜎
∣ξ−Mξ∣<σ.

Решение:

Нам дано, что плотность случайной величины ξ имеет вид fξ(x) = { a · x · (4 – x), при x ∈ [0,4] 0, при x ∉ [0,4] } Нам нужно найти: 1. Значение параметра a (условие нормировки). 2. Функцию распределения Fξ(x). 3. Математическое ожидание Mξ. 4. Дисперсию Dξ. 5. Вероятность события {|ξ – Mξ| σ}, где σ = √(Dξ). Ниже пошаговое решение. ────────────────────────────── Шаг 1. Нахождение параметра a Т.к. fξ(x) – плотность, то должно выполняться условие нормировки: ∫₋∞^∞ fξ(x) dx = 1 При данном виде интеграл сводится к промежутку [0,4]: ∫₀^4 a · x · (4 – x) dx = 1 ...