Разбор задачи

Плотность распределения случайной величины имеет вид Найти значение константы , математическое ожидание, дисперсию случайной величины и \( P (0

$Плотность распределения случайной величины имеет вид Найти значение константы , математическое ожидание, дисперсию случайной величины и \( P (0$

Условие:

Плотность распределения случайной величины $X$ имеет вид $ f(x)=\left{

\begin{array}{ll} 0, & \text { если } x<0 \\ C \sin 3 x, & \text { если } 0 \leq x \leq \frac{\pi}{6} \\ 0, & \text { если } x>\frac{\pi}{6} \end{array}

Найти значение константы $C$ , математическое ожидание, дисперсию случайной величины $X$ и $P\left(0<X<\frac{\pi}{12}\right)$ .

Для решения задачи начнем с нахождения константы $C$ . Плотность вероятности $f(x)$ должна удовлетворять условию нормировки:

\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1.

В данном случае, поскольку $f(x) = 0$ для $x < 0$ и $x > \frac{\pi}{6}$ , мы можем ограничить интеграл пределами от 0 до $\frac{\pi}{6}$ :

\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} C \sin(3x) \, dx = 1.

Теперь вычислим интеграл:

\int \sin(3x) \, dx = -\frac{1}{3} \cos(3x) + C_1.

Подставим пределы:

\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \sin(3x) \, dx = \left[-\frac{1}{3} \cos(3x)\right]_{0}^{\frac{\pi}{6}} = -\frac{1}{3} \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + \frac{1}{3} \cos(0) = 0 + \frac{1}{3} = \frac{1}{3}.

Теперь подставим это значение в уравнение нормировки:

C \cdot \frac{1}{3} = 1 \implies C = 3.

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое свойство плотности вероятности $f(x)$ используется для нахождения константы $C$?

Интеграл от (f(x)) по всей области определения равен математическому ожиданию.

Интеграл от (f(x)) по всей области определения равен 1.

Интеграл от (f(x)) по всей области определения равен дисперсии.