Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины X имеет вид: Найти .

Чтобы найти значение $a$ и математическое ожидание $M(X)$, начнем с нахождения нормировочной константы $a$.

1. Нормировка плотности вероятности: Плотность вероятности должна удовлетворять условию:

   $$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1.$$
   В данном случае это означает, что:
   $$\int_{1}^{5} a \cdot (x - 1) \, dx = 1.$$

2. Вычисление интеграла: Найдем интеграл:

   $$\int_{1}^{5} (x - 1) \, dx.$$
   Сначала найдем первообразную:
   $$\int (x - 1) \, dx = \frac{x^2}{2} - x + C.$$
   Теперь подставим пределы интегрирования:
   $$\left[ \frac{x^2}{2} - x \right]_{1}^{5} = \left( \frac{5^2}{2} - 5 \right) - \left( \frac{1^2}{2} - 1 \right).$$
   ...