Плотность вероятностей случайной величины задана формулой . Найти вероятность того, что при пяти испытаниях случайная величина хотя бы раз попадет в интервал ( ).

Добавлена: 06.05.2026
Обновлена: 06.05.2026
Предмет: Теория вероятностей
Автор: Кэмп

#Теория вероятностей и математическая статистика
#Теория случайных величин

Плотность вероятностей случайной величины задана формулой . Найти вероятность того, что при пяти испытаниях случайная величина хотя бы раз попадет в интервал ( ).

Условие:

Плотность вероятностей случайной величины $\xi$ задана формулой $f_{\xi}(x)=\frac{a}{1+x^{2}}$ . Найти вероятность того, что при пяти испытаниях случайная величина хотя бы раз попадет в интервал ( $0 ; \sqrt{3}$ ).

Решение:

Нормировка плотности вероятности: Плотность вероятности $f_{\xi}(x) = \frac{a}{1+x^2}$ должна быть нормирована, то есть интеграл от этой функции по всему пространству должен равняться 1:
$\int_{-\infty}^{\infty} f_{\xi}(x) \, dx = 1.$
Интеграл от функции $\frac{1}{1+x^2}$ известен и равен $\pi$ . Таким образом, мы имеем:
$a \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2} \, dx = a \cdot \pi = 1 \implies a = \frac{1}{\pi}.$
Теперь плотность вероятности имеет вид:
$f_{\xi}(x) = \frac{1}{\pi(1+x^2)}.$
Нахождение вероятности попадания в интервал $(0; \sqrt{3})$ ...