1. Главная
  2. Библиотека
  3. Теория вероятностей
  4. Предположительно задана плотность двумерной случайной в...
Разбор задачи

Предположительно задана плотность двумерной случайной величины. Найдите вероятность попадания случайной точки ( ) в прямоугольник \( 0

  • Предмет: Теория вероятностей
  • Автор: Кэмп
  • #Теория вероятностей и математическая статистика
  • #Теория случайных величин
Предположительно задана плотность двумерной случайной величины. Найдите вероятность попадания случайной точки ( ) в прямоугольник \( 0

Условие:

Предположительно задана плотность двумерной случайной величины. Найдите вероятность попадания случайной точки ( X,Y\mathrm{X}, \mathrm{Y} ) в прямоугольник 0<x<2,0<y<20<\mathrm{x}<2,0<\mathrm{y}<2 $ f(x, y)=\left{

20π2(16+x2)(25+y2):x∈[0,4],y∈[0,4]0:x∉[0,4],y∉[0,4]\begin{array}{cl} \frac{20}{\pi^{2}\left(16+x^{2}\right)\left(25+y^{2}\right)} & : x \in[0,4], y \in[0,4] \\ 0 & : x \notin[0,4], y \notin[0,4] \end{array}

$

Решение:

  1. Проверка нормировки: Для того чтобы функция f(x,y)f(x, y) была плотностью вероятности, необходимо, чтобы интеграл по всей области определения равнялся 1:
∫04∫04f(x,y) dy dx=1 \int_0^4 \int_0^4 f(x, y) \, dy \, dx = 1

Подставим f(x,y)f(x, y):

∫04∫0420π2(16+x2)(25+y2) dy dx \int_0^4 \int_0^4 \frac{20}{\pi^2 (16 + x^2)(25 + y^2)} \, dy \, dx
  1. Вычисление внутреннего интеграла:

Сначала вычислим интеграл по yy:

∫0420π2(16+x2)(25+y2) dy \int_0^4 \frac{20}{\pi^2 (16 + x^2)(25 + y^2)} \, dy

Это интеграл от функции вида 125+y2\frac{1}{25 + y^2}, который можно вычислить:

∫125+y2 dy=15arctan⁡(y5) \int \frac{1}{25 + y^2} \, dy = \frac{1}{5} \arctan\left(\frac{y}{5}\right)

Теперь подставим пределы от 0 до 4:

∫0420π2(16+x2)(25+y2) dy=20π2(16+x2)[15arctan⁡(45)−15arctan⁡(0)] \int_0^4 \frac{20}{\pi^2 (16 + x^2)(25 + y^2)} \, dy = \frac{20}{\pi^2 (16 + x^2)} \left[ \frac{1}{5} \arctan\left(\frac{4}{5}\right) - \frac{1}{5} \arctan(0) \right]

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое свойство должна удовлетворять функция, чтобы быть плотностью вероятности двумерной случайной величины?

Что нужно знать по теме:

Что нужно знать по теме

Алгоритм решения

Топ 3 ошибок

Что спросит препод

Похожие задачи

Похожие задачи

Не нашел нужную задачу?Воспользуйся поиском

AI помощники

Выбери предмет

E
S
А
Б
В
Г
Д
Е
Ж
З
И
К
Л
М
Н
О
П
Р
С
Т
У
Ф
Х
Ц
Ч
Э
Я