Пусть независимые случайные величины и имеют одинаковое геометрическое распределение с параметром . Положим и . Доказать, что случайные величины и независимы.

Добавлена: 28.04.2026
Обновлена: 28.04.2026
Предмет: Теория вероятностей
Автор: Кэмп

#Теория вероятностей и математическая статистика
#Теория случайных величин

Пусть независимые случайные величины и имеют одинаковое геометрическое распределение с параметром . Положим и . Доказать, что случайные величины и независимы.

Условие:

Пусть независимые случайные величины $\xi$ и $\eta$ имеют одинаковое геометрическое распределение с параметром $p$ . Положим $U=\min (\xi, \eta)$ и $V=\xi-\eta$ . Доказать, что случайные величины $U$ и $V$ независимы.

Решение:

Шаг 1. Выразим U и V через ξ и η

Мы полагаем U = min(ξ, η) и V = ξ – η. Заметим, что если ξ = η, то V = 0; если ξ > η, то минимум равен η, а разность V > 0; если ξ < η, то минимум равен ξ, а V <
0.

Шаг 2. Найдём совместное распределение (U, V)

Рассмотрим три случая:

Случай V = 0. При V = 0 имеем ξ = η = u, где u ∈ ℕ.
Тогда P(U = u, V = 0) = P(ξ = u, η = u) = [p·(1–p)^(u–1)]^2 = p²·(1–p)^(2u–2).
Случай V > 0. При V > 0 получаем, что ξ > η, и минимум U = η = u, а ξ = u + v, где v = V &gt...